Da un punto di vista storico, con Scuola italiana di geometria algebrica si intende riferirsi a un numeroso gruppo di validi matematici italiani del XIX e XX secolo, che, con il loro vasto, profondo e consistente lavoro, metodologicamente condotto con un comune approccio di studio e di ricerca,Cfr. A. Brigaglia, The Creation and Persistence of National Schools: The Case of Italian Algebraic Geometry, (pp. 188-189), in: U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico (Eds.), Changing Images in Mathematics. From the French Revolution to the New Millennium, Routledge, London, 2001, Ch. 9, pp. 187-206. portò l'Italia ai più alti livelli in geometria algebrica, soprattutto in geometria birazionale e nella teoria delle superfici algebriche, con risultati originali di prim'ordine.

La nascita della scuola, il relativo contesto storico, i principali risultati Capiscuola furono soprattutto Guido Castelnuovo, Federigo Enriques e Francesco Severi, che, con il loro originale stile di insegnamento, gli efficaci metodi di studio e le innovative strategie di approccio alle questioni di ricerca, contribuirono sia a dare i maggiori risultati sia a guidare e indirizzare gli altri discepoli, alcuni dei quali provenienti dall'estero (fra di loro, Pavel Sergeevič Aleksandrov,P. Nastasi, R. Tazzioli, Tullio Levi-Civita, lettera matematica pristem, N. 57-58, Springer-Verlag Italia, Milano, 2006, p. 50. André Weil, Oscar Zariski). Sulla base dell'opera svolta da questi studiosi, a partire dalla seconda metà del XX secolo, iniziò ad affermarsi una nuova impostazione teorica della geometria algebrica, prevalentemente assiomatica e soprattutto caratterizzata dall'uso sistematico dell'algebra commutativa, da parte sia della scuola americana (Oscar Zariski, Solomon Lefschetz, David Mumford e altri) sia di quella francese (André Weil, Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre e altri), le quali inizialmente sembravano criticare, nel rigore della trattazione, l'opera della scuola italiana, più improntata a dar precedenza all'intuizione che alla formalizzazione. Solo recentemente, però, soprattutto per opera di David Mumford, si è complessivamente rivalutata l'importanza innovativa del lavoro della scuola italiana, che fornì le basi intuitive su cui si fondarono molte delle successive formalizzazioni della teoria. A. Weil, Foundations of Algebraic Geometry, AMS-American Mathematical Society Colloquium Publications, Volume No. 29, Revised Edition, Providence (RI), 1962, Introduction (written in 1944 for the first edition of 1946), pp. vii-xii.J. Tate, The work of David Mumford, (pp. 219-220), in: M.F. Atiyah, D. Iagolnitzer (Eds.) Field Medallists' Lectures, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1997, pp. 219-225.A. Brigaglia, C. Ciliberto, Remarks on the relations between the Italian and American schools of algebraic geometry in the first decades of the 20th century, Historia Mathematica, 31 (3) (2004) pp. 310-319.J. Dieudonné, History of Algebraic Geometry. An Outline of the History and Development of Algebraic Geometry, Chapman & Hall, New York, 1985, Ch. VI, Sect. 4, N. 47, p. 52.D. Mumford, Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties, Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1976, Introduction, pp. vii-viii.

Il contesto storico

Dopo l'introduzione delle geometrie non euclidee, conseguente alla crisi sui fondamenti della matematica e i suoi metodi logici, due furono i principali indirizzi della geometria, quello algebrico e quello topologico-differenziale.G. Geymonat, A. Sanini, P. Valabrega, Geometria e topologia, (pp. 616-617), in: Enciclopedia Einaudi, 16 voll., Giulio Einaudi editore, Torino, 1977-1984, Vol. 6, pp. 616-723.U. Bottazzini, I geometri italiani e il problema dei fondamenti (1888-1899), Bollettino dell'Unione Matematica Italiana. La Matematica nella Società e nella Cultura, 4-A (8) (2001) pp. 281-329. La geometria algebrica moderna nasce fondamentalmente con l'opera di Riemann,Ma anche l'indirizzo topologico-differenziale prende sostanzialmente le mosse dai lavori di Riemann sulle varietà n-dimensionali generali, in cui gli aspetti differenziale, algebrico e topologico sono strettamente correlati nell'approccio (riemanniano) di studio di tali entità. Sarà poi Poincaré, anche sulla base delle sue ricerche di meccanica celeste, a dare solide e rigorose basi formali alle geniali intuizioni di Riemann, segnando così ufficialmente la nascita della topologia (Analysis situs); cfr. G. Geymonat et al., cit., p. 617. che pone le basi per lo studio di quelle proprietà geometriche che sono invarianti per trasformazioni più generali di quelle proiettive, per cui, nei suoi lavori, si trova, in nuce, quello che sarà uno dei problemi centrali della geometria algebrica,Che riguarderà, tuttavia, anche l'altro indirizzo topologico-differenziale, il quale sarà altresì caratterizzato dalla ricerca degli invarianti (topologici) di certe trasformazioni fra spazi topologici. ovvero quello della classificazione (dei vari enti geometrici in studio), la cui conseguente problematica si chiarificherà grazie al programma di Erlangen di Felix Klein, che indicherà la via da seguire, ovverosia quella basata sull'invarianza rispetto a certe trasformazioni gruppali.G. Geymonat et al., cit., p. 617.

Da questo momento in poi, lo sviluppo della geometria algebrica sarà, in gran parte, contraddistinto dalla dicotomia "intuizione/rigore", rispetto a cui la scuola italiana avrà una sua propria concezione del rigore matematico, alquanto distinta da quella assunta dalla successiva scuola dei cosiddetti "algebrizzatori", che annovererà, fra gli altri, Hilbert, Zariski, Weil, Serre, Grothendieck. Ma, andando ancora più a ritroso, fu dai lavori della scuola francese (in particolare, quelli di Gaspard Monge, Charles Julien Brianchon, Jean Victor Poncelet e Michel Chasles) e di quella tedesca (da parte di August Ferdinand Moebius, Karl Georg Christian von Staudt, Jakob Steiner, Julius Plücker, Hermann Günther Grassmann, Ernst Eduard Kummer e Leopold Kronecker) in geometria proiettiva complessa, che ebbe inizio quella nuova trattazione degli enti geometrici – soprattutto, coniche e quadriche nello spazio tridimensionale – caratterizzata dall'uso dei metodi e dei concetti della geometria proiettiva sul campo complesso e la sua chiusura algebrica, la quale darà luogo a una nuova e più potente teoria algebrica delle curve e delle superfici che va ben oltre quanto già conseguito da Isaac Newton, Colin Maclaurin, Leonhard Euler, Gabriel Cramer, Joseph-Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Étienne Bobillier e George Boole.C. Ciliberto, Geometria algebrica. Lo sviluppo delle idee, (p. 797), in: Enciclopedia del Novecento, Vol. X, Suppl. II (1998) pp. 797-811.E. Vesentini, Geometria, (pp. 335-336), in: Enciclopedia del Novecento, Supplemento II, 1998, pp. 335-348.

Questa eredità fu poi, dalla seconda metà dell'Ottocento, acquisita sia da Riemann, come già menzionato, sia da Luigi Cremona, il fondatore della scuola italiana di geometria algebrica, a cui si deve il merito di aver utilizzato, in modo mirato e sistematico, tecniche algebriche efficienti nello studio della geometria proiettiva e dei suoi enti, introducendo, per la prima volta, i nuovi metodi della teoria algebrica degli invarianti e delle forme algebriche aperta da Boole, James Joseph Sylvester, Arthur Cayley, Siegfried Heinrich Aronhold, Alfred Clebsch, George Salmon, Ludwig Otto Hesse, Charles Hermite e Paul Gordan. Ma, il principale merito di Cremona fu quello di aver introdotto e studiato, intorno al 1860, sulla base di esempi particolari introdotti da Poncelet, Plücker, Steiner e Ludwig Immanuel Magnus, la nozione formale generale di trasformazione birazionale (poi denominata, in suo onore, trasformazione cremoniana), ovverosia una trasformazione (funzionale) esprimibile, in coordinate cartesiane, mediante funzioni razionali, e che ha, in generale, l'inversa con la stessa proprietà.C. Ciliberto, cit., p. 798; E. Vesentini, cit., p. 335.

Per mezzo della nozione di trasformazione birazionale, fu possibile stabilire le prime classificazioni delle varietà algebriche – i nuovi enti della geometria algebrica – sulla base delle proprietà formali delle trasformazioni cremoniane a cui tali varietà sono soggette e le relative singolarità che queste trasformazioni, in generale, posseggono in quanto funzioni razionali.Così, per esempio, due curve algebriche sono birazionalmente equivalenti solo se hanno lo stesso genere; cfr. G. Geymonat et al., cit., p. 704. Ma, da un punto di vista storico, è da ricordare il ruolo fondamentale svolto dai lavori di Riemann sugli integrali abeliani nel pervenire alla nozione generale di trasformazione birazionale da parte di Cremona, lavori che furono comunque condotti, da parte di Riemann, con metodi analitici, sulla base dei precedenti risultati di Giulio Fagnano, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, Niels Henrik Abel e Carl Jacobi sugli integrali ellittici. Sulla scia di questi lavori, Riemann introdusse la fondamentale nozione di genere g di una curva algebrica, un invariante topologico che permette di classificare le curve algebriche, correlandolo sia a un precedente invariante introdotto da Abel sia al numero di singolarità di ben determinate trasformazioni birazionali relate alla data curva.C. Ciliberto, cit., p. 798; G. Geymonat et al., cit., pp. 646-648.

Precisamente, detto r il massimo numero di funzioni razionali che sono, rispetto alla data curva, linearmente indipendenti con un assegnato numero n di singolarità, Riemann, assieme al suo allievo Gustav Roch, provò che r ≥ n - g + 1, risultato che verrà poi sussunto nel cosiddetto teorema di Riemann-Roch. Inoltre, introducendo la nozione di trasformazione birazionale fra curve algebriche, Riemann pervenne all'importante risultato secondo cui l'invariante principale di tali trasformazioni è il campo formato dall'insieme delle trasformazioni birazionali agenti su tale curva, attraverso cui si perverrà poi a definire lo spazio dei moduli Mg delle curve algebriche di genere g, a cui si associa un altro invariante, che è 0 se g=0, 1 se g=1 e 3(g - 1) se g ≥ 2. Tutti questi pionieristici risultati analitici riemanniani saranno poi ripresi da Clebsch, che li contestualizzerà da un punto di vista più propriamente algebrico-geometrico, creando così un notevole raccordo fra la teoria analitica di Riemann e quella algebrico-geometrica, preludio alla nascita della moderna geometria algebrica.C. Ciliberto, cit., pp. 798-99.

Dopo il 1870 circa, Max Noether iniziò ad applicare sistematicamente i risultati che man mano provenivano dall'algebra commutativa – e a cui egli stesso contribuiva – a quanto era già stato stabilito in geometria algebrica da parte di quei matematici che sono stati appena sopra menzionati, pervenendo a un primo, notevole risultato algebrico, noto come teorema Af+BΦ, che lascia determinare opportune combinazioni polinomiali, attraverso cui Max Noether riuscirà a conseguire ulteriori, altrettanto notevoli risultati geometrici, fra cui quello che permette di ottenere, da altre date, curve algebriche con singolarità più semplici o di ordine inferiore, attraverso opportune trasformazioni cremoniane. Dopodiché, assieme ad Alexander von Brill, Max Noether riuscì, parimenti a Clebsch, a inquadrare la teoria analitica riemanniana (di cui sopra) in termini algebrico-geometrici, soprattutto per il tramite della nozione centrale di serie lineare la quale permette di individuare una ben precisa serie di punti di una curva algebrica, detti suoi divisori effettivi, ottenuti per intersezione di questa, previamente immersa in un opportuno spazio proiettivo, con un sistema lineare di ipersuperfici.Cfr. C. Ciliberto, cit., p. 799.