Londa gravitazionale è una perturbazione dello spaziotempo che si propaga con carattere ondulatorio.
Fu prevista nel 1916 nell'ambito della teoria della relatività generaleAlbert Einstein, , Annalen der Physik, Vol 7, 1916, nella quale l'equazione di campo di Einstein (linearizzata) ammette soluzioni ondulatorie per il tensore metrico, così come avviene per le equazioni di Maxwell riguardo al campo elettromagnetico. Si tratta quindi a tutti gli effetti di una forma di radiazione, al cui passaggio le distanze fra punti dello spazio tridimensionale curvo all'interno del campo gravitazionale si contraggono ed espandono ritmicamente.
La teoria prevede che fronti d'onda di particolare intensità possono essere generati da fenomeni cosmici in cui enormi masse variano la loro distribuzione in modo repentino (e con un momento di quadrupolo non nullo), ad esempio nell'esplosione di supernove o nella collisione di oggetti quali stelle di neutroni e buchi neri. A partire dalla fine degli anni sessanta sono stati realizzati diversi rivelatori di onde gravitazionali. La prima rilevazione certa è stata annunciata l'11 febbraio 2016 dalla collaborazione LIGO/VIRGO, che nel settembre 2015 ha misurato onde gravitazionali causate dalla collisione di due buchi neri. La verifica sperimentale dell'esistenza delle onde gravitazionali ha fornito un'ennesima conferma della teoria della relatività generale e aperto nuove prospettive di studio in campo astrofisico.
Formazione e propagazione Introduciamo le onde gravitazionali con un'analogia con altri fenomeni ondulatori: Un'onda in un fluido, come ad esempio l'aria e l'acqua, è un'onda di pressione: propagandosi, modifica la pressione e la densità locali del fluido, facendole oscillare intorno a valori di equilibrio. L'equazione delle onde, in questo caso, è un'equazione unidimensionale, corrispondente cioè a una proprietà scalare dello spazio. Unonda elettromagnetica è costituita da un campo elettromagnetico che si propaga nello spazio. L'equazione di tale onda è di tipo vettoriale e discende dalle equazioni di Maxwell.
Le onde gravitazionali si propagano invece nella struttura geometrica dello spazio modificando la distanza spaziotemporale di due punti vicini, facendola oscillare attorno a valori di riferimento. In questo caso, l'equazione delle onde è tensoriale (10 componenti), poiché deve tener conto di tutte le possibili dipendenze della distanza dalle coordinate. In base alle equazioni della Relatività Generale, la velocità delle onde gravitazionali coincide con la velocità della luce c. Di conseguenza, le onde gravitazionali sono sempre onde trasversali: le distorsioni provocate localmente dal passaggio di un'onda sono sempre perpendicolari alla sua direzione di propagazione.
A partire dagli inizi del Novecento, sono state formulate diverse teorie per determinare la meccanica di queste distorsioni. La teoria della gravitazione di Einstein era di tipo tensoriale, prevedeva onde a carattere quadrupolare e richiedeva, per descrivere il campo gravitazionale in un punto dello spazio, un insieme di dieci valori, i potenziali gravitazionali. La teoria scalare, invece, richiedeva un solo valore per ogni punto dello spazio, indipendente dal sistema di riferimento dell'osservatore. Altre teorie suggerivano modifiche alla teoria di Einstein, con una mescolanza di forze scalari e tensoriali.
A tutt'oggi, il modello teorico più accreditato è quello di Einstein, a struttura strettamente tensoriale: si pensa che la quantità di radiazione gravitazionale emessa da un corpo dipenda dal grado di disomogeneità nella distribuzione della sua massa (in termini di deviazione del corpo dalla simmetria sferica); la grandezza fisica che misura questa disomogeneità è il momento di quadrupolo.A. Einstein, "The quadrupole formula." Sitzungsberichte, Preussische Akademie der Wisserschaften, 154, (1918). Quando il momento di quadrupolo di un corpo di grande massa subisce variazioni molto rapide è emesso un gran numero di onde gravitazionali, di intensità e quantità proporzionali alla velocità delle variazioni.
Trattazione matematica
Consideriamo le equazioni di campo della relatività generale in cui effettuiamo un'approssimazione di campo debole, ossia il tensore metrico dello spazio-tempo è definito come
in cui è la metrica di Minkowski (spazio piatto) e una piccola variazione ().
Possiamo quindi sostituire quest'espressione per nelle equazioni di Einstein, includendo solo contributi in al prim'ordine.
Dalla definizione in termini di derivate della metrica, abbiamo per il tensore di Riemann
da cui, contraendo, otteniamo il tensore di Ricci
e, con un'ulteriore contrazione, lo scalare di curvatura
da cui, sostituendo nelle equazioni di Einstein avremo
Introducendo ora, per mera convenienza, la quantità
e riscrivendo l'equazione di campo in termini di essa si ottiene
Si può ora sfruttare l'invarianza di gauge della teoria rispetto ai cambiamenti di coordinate
Introducendo tale trasformazione, abbiamo
da cui
Possiamo effettuare una scelta di gauge covariante (equivalente al gauge di Lorenz in elettromagnetismo), detto gauge di De Donder, ovvero
Tale scelta è possibile, poiché è possibile trovare degli tali che
ovvero
Le equazioni di campo si riducono così all'espressione
che è quella di un'equazione d'onda in .
Polarizzazioni Esistono due possibili polarizzazioni dell'onda sopra ricavata, che equivale a dire che tale onda ha solo due gradi di libertà indipendenti, indicati con et .
Tali polarizzazioni indipendenti sono analoghe al caso delle polarizzazione di un'onda elettromagnetica sfasate di un angolo di 45 gradi tra loro, ossia l'effetto di un'onda polarizzata + è identico a quello della polarizzazione ×, ma ruotato di 45 gradi, come illustrato nelle animazioni successive.
Effetti
Le onde gravitazionali sono trasversali, ossia non hanno alcun effetto sulla posizione delle particelle lungo la direzione di propagazione dell'onda ma ce l'hanno lungo le direzioni perpendicolari, perciò, supponendo di avere un anello di particelle di prova in caduta libera (soggetto solo alla gravità), per provocare un movimento di tali particelle occorre un'onda gravitazionale che si propaghi perpendicolarmente al piano dell'anello. In tale situazione, il passaggio dell'onda fa in modo che l'anello si allunghi alternativamente in una direzione e si comprima nell'altra, mantenendosi sullo stesso piano, come mostrato nelle animazioni a fianco. L'ampiezza delle oscillazioni mostrate nelle animazioni è molto esagerata, in quanto, in realtà, l'ampiezza delle onde gravitazionali è molto piccola.
Le animazioni mostrano oscillazioni associate al caso più semplice di un'onda gravitazionale sinusoidale, che può essere prodotta da un sistema fisico ideale costituito da una coppia di masse identiche in un'orbita circolare. In questo caso, l'ampiezza dell'onda è costante e il suo piano di polarizzazione ruota continuamente al doppio della frequenza orbitale.
L'ampiezza delle onde gravitazionali è solitamente indicata con h (come da paragrafo precedente), un numero adimensionale che quantifica la variazione relativa della compressione o dell'allungamento nelle animazioni. L'ampiezza mostrata qui è approssimativamente pari a h = 0,5 (cioè 50%). In realtà, le onde gravitazionali ricevute sulla Terra sono impercettibili: in genere, si stima che h ≈ 10^(-20), il che significa che un cerchio delle dimensioni della Terra subirebbe una deformazione di circa 10^(-13) m, mille volte più piccola di un atomo.
Sorgenti di onde gravitazionali Fin dagli anni cinquanta, sono stati effettuati esperimenti per rilevare le onde gravitazionali. Mentre la radiazione elettromagnetica può essere studiata producendola in laboratorio, le onde gravitazionali prodotte da spostamenti di masse realizzabili in un laboratorio terrestre sarebbero talmente deboli da risultare impossibili da rivelare; quindi, i ricercatori hanno sviluppato apparati atti a osservare la radiazione gravitazionale generata da fenomeni su scala astronomica.
Si conoscono molte possibili sorgenti di onde gravitazionali, tra le quali sistemi binari di stelle, pulsar, esplosioni di supernove, buchi neri in vibrazione e galassie in formazione; per ognuna di queste fonti, il tipo di segnale emesso dovrebbe possedere un “timbro” caratteristico che identifichi univocamente il tipo di fonte e la causa dell'emissione, ma per molti anni non è stato possibile costruire rivelatori sufficientemente sensibili.
Un sistema stellare binario, formato da due stelle che orbitano intorno a un comune centro di massa, dovrebbe produrre onde gravitazionali continue; il periodo fondamentale di queste onde sarebbe pari a metà del periodo dell'orbita delle due stelle. L'emissione gravitazionale più intensa dovrebbe avere un'intensità pari a ; la larghezza di banda del ricevitore dovrebbe essere di circa 1500 hertz. Quando un sistema binario muore, le stelle che lo compongono cadono rapidamente verso il centro seguendo una traiettoria a spirale, fino a collidere e/o disintegrarsi, emettendo onde gravitazionali. Nel caso in cui il sistema sia formato da due stelle di neutroni, entrambi gli eventi (collisione o disintegrazione) dovrebbero produrre un impulso di onde gravitazionali molto più intenso, a causa del maggiore quantitativo di massa del sistema.
Anche la nascita di una stella di neutroni dall'esplosione di una supernova dovrebbe essere annunciata dalla trasformazione di circa lo 0,1% della massa iniziale in onde gravitazionali. Il “timbro” di queste onde dovrebbe essere di tipo pulsato. Il rilevamento di onde gravitazionali provenienti da una supernova permetterebbe di confermare la previsione di Einstein riguardo alla loro velocità: se le onde gravitazionali e quelle luminose venissero rilevate simultaneamente, avremmo una conferma diretta che le onde gravitazionali si propagano alla velocità della luce. Un ulteriore vantaggio nello studio del collasso stellare è che, mentre la radiazione elettromagnetica durante il collasso è bloccata dagli strati esterni della stella, che nascondono alla vista le fasi più violente dell'esplosione, le onde gravitazionali, che interagiscono così debolmente con la materia da poter attraversare senza attenuazioni l'atmosfera di una stella, potrebbero invece svelare i dettagli più fini del collasso. Il numero di esplosioni di supernova che ci attendiamo nella nostra galassia è circa una ogni 30 anni, con , mentre nell'Ammasso della Vergine, che conta circa 1000 galassie, ci attendiamo un'esplosione alla settimana, con .
Una stella di neutroni giunta a maturità può essere anch'essa una sorgente di onde gravitazionali, se la sua massa non è disposta simmetricamente rispetto al suo asse di rotazione. In questo caso, come per i sistemi binari, le onde sono continue; il loro periodo fondamentale è uguale al periodo di rotazione della stella. Le informazioni ricevute darebbero informazioni sulla struttura interna di queste sorgenti, ancora non completamente conosciuta. La banda richiesta al ricevitore andrebbe da 1 a circa 1000 hertz.
Un'altra possibile fonte di onde gravitazionali è il Big Bang: le osservazioni più importanti sull'universo primordiale vengono dall'osservazione del fondo cosmico di microonde, il resto della radiazione termica che pervadeva l'universo ai suoi inizi. Il rilevamento di un fondo (rumore) cosmico di onde gravitazionali svelerebbe nuovi aspetti del Big Bang.
Le onde gravitazionali prodotte nelle situazioni descritte avrebbero comunque un impatto estremamente debole ed effimero nell'investire la Terra. Nel migliore dei casi, le masse dei rivelatori sarebbero appena sollecitate, con uno spostamento nelle loro posizioni di appena 10−21 metri (un milionesimo del diametro di un protone) per ogni metro di separazione; per questo motivo, molti scienziati erano scettici riguardo alla possibilità di rilevare onde gravitazionali.