Soprannominato il cigno di Sarajevo, è considerato uno dei più forti attaccanti della sua generazione, nonché il miglior calciatore bosniaco di tutti i tempi. Dopo gli inizi in patria e in Repubblica Ceca, nel 2007 viene acquistato dal , con cui vince un campionato tedesco (2008-2009). Dopo tre stagioni e mezza si trasferisce al , con cui conquista due campionati inglesi (2011-2012 e 2013-2014), una Coppa d'Inghilterra (2010-2011), una Supercoppa (2012) e una Coppa di Lega (2013-2014). Nel 2015 passa alla , dove resta per sei stagioni e diventa il miglior marcatore straniero della storia del club, nonché il terzo assoluto; nella stagione 2019-2020 diventa capitano della squadra. Nel 2021 viene acquistato dall', con cui vince due Supercoppe italiane (2021 e 2022) e due Coppe Italia (2021-2022 e 2022-2023).
Con la , con cui ha giocato dal 2007 al 2026, ha partecipato a due edizioni del campionato mondiale (2014 e 2026 ) ed è inoltre primatista di presenze e di reti avendo disputato 151 partite e realizzato 73 reti.
A livello individuale, è stato eletto calciatore bosniaco dell'anno (per tre) volte (2009, 2010 e 2011) e sportivo bosniaco dell'anno per due (2009 e 2018), oltre ad essere stato votato come miglior giocatore della Bundesliga nella stagione 2008-2009. È stato capocannoniere del campionato tedesco (2009-2010), della Coppa di Lega inglese (2013-2014), della UEFA Europa League (2016-2017) e del campionato italiano (2016-2017). È stato inserito nella squadra della stagione della UEFA Champions League (2017-2018) e nella squadra della stagione della UEFA Europa League (2020-2021).
È inoltre, insieme a Cristiano Ronaldo e Pierre-Emerick Aubameyang, uno dei tre giocatori ad essere stati capaci di siglare almeno 50 reti in tre dei cinque principali campionati europei — nel suo caso tedesco, inglese e italiano, con le maglie di Wolfsburg, Manchester City, Roma e Inter. Grazie alla sua longeva carriera, inoltre, rientra nella ristretta cerchia dei calciatori con almeno 1000 presenze ufficiali.
Biografia Nato a Sarajevo nel 1986, a seguito dello scoppio della guerra in Bosnia ed Erzegovina, è costretto a spostarsi tra Sarajevo e il resto del paese con la sua famiglia. L'infanzia di Džeko è difficile, tanto che in seguito la racconterà così: «Non c'era molto da mangiare, e non c'erano tre pasti assicurati ogni giorno. Avevo sempre paura, quando sentivamo gli spari o le bombe che cadevano, ci nascondevamo dove capitava. Potevi morire in qualsiasi momento».
Cugino del difensore Emir Spahić, suo ex compagno in nazionale, Džeko è musulmano e, oltre al natio bosniaco, parla fluentemente inglese, tedesco, ceco, italiano e turco.
Nel 2011 ha iniziato una relazione con Amra Silajdžić, modella bosniaca che ha poi sposato nel 2014. La coppia ha quattro figli.
Il 26 marzo 2017 ha ricevuto dalla FSBiH, insieme ai connazionali Asmir Begović, Edin Cocalić, Senad Lulić, Vedad Ibišević, Emir Spahić e Edin Višća, il diploma di allenatore UEFA-B per le giovanili.
Nel 2019, assieme al chitarrista montenegrino Miloš Karadaglić, alla stilista kosovara Krenare Rugova, al regista macedone Milčo Mančevski, all'attrice serba Hristina Popović e allo chef albanese Altin Prenga, è stato selezionato dal Servizio europeo per l'azione esterna, organo che collabora con l'Alto rappresentante dell'Unione per gli affari esteri e la politica di sicurezza, come testimonial per una campagna di informazione dell'Unione europea dedicata ai paesi della penisola balcanica.
Nel novembre 2021 ha ottenuto la cittadinanza croata. Ambasciatore dell'UNICEF, è stato il primo bosniaco ad assumere tale carica, finanziando diverse case-famiglia a Sarajevo e in tutta la Bosnia.
Caratteristiche tecniche È un centravanti completo che coniuga prestanza fisica, elevata tecnica di base ed efficacia nel gioco aereo. Ottimo realizzatore, è in grado di creare spazi per i compagni e di servirli grazie alle qualità del suo gioco di sponda. Paragonato - con le debite proporzioni - a Marco Van Basten per l'eleganza dei gesti tecnici, Džeko si ispira in realtà ad Andrij Ševčenko. La sua capacità di calciare con entrambi i piedi, prendere posizioni difficili da marcare per colpire di testa e, all'occorrenza, di coordinarsi in acrobazia, lo rendono un goleador completo e temibile.
Si è distinto anche per longevità nel rendimento visto che anche dopo i 35 anni ha saputo essere decisivo nel corso della sua carriera.
Carriera Club Gli inizi Inizia la sua carriera nel , squadra di Sarajevo, con cui gioca da centrocampista 40 partite dal 2003 al 2005 e segna 5 gol. Viene acquistato dal per circa 80 000 euro e si trasferisce in Repubblica Ceca, giocando prima in prestito in seconda serie all'. Qui avviene il suo cambio di ruolo, diventando attaccante e gli effetti si vedono subito: nel gennaio 2006 torna al Teplice e vi resta fino al termine della stagione 2006-2007, quando viene nominato miglior straniero del campionato, grazie anche ai 13 gol in 30 presenze.
Wolfsburg
A Teplice viene notato da Felix Magath, allenatore della squadra tedesca del , che ne rimane positivamente colpito, vedendo in lui una punta giovane e completa: nella sessione estiva di calciomercato della stagione 2007-2008, Džeko viene acquistato dal Wolfsburg per 4 milioni di euro.
Dopo aver totalizzato 28 presenze e 8 reti nella sua prima stagione in Bundesliga, al secondo anno in Germania fornisce un contributo determinante per la prima vittoria del titolo tedesco da parte del Wolfsburg, affermandosi come uno dei migliori realizzatori del campionato (26 reti in 32 incontri) e formando, insieme al brasiliano Grafite, la più prolifica coppia d'attacco nella storia del torneo (superando Gerd Müller e Uli Hoeneß, il cui record resisteva dal 1973). A fine stagione viene eletto miglior giocatore della Bundesliga; viene poi inserito da France Football nell'elenco dei 30 giocatori candidati alla vittoria del Pallone d'oro 2009.
Nella stagione 2009-2010, nonostante il Wolfsburg non riesca a ripetere i risultati dell'annata precedente, Džeko termina il campionato con 22 gol all'attivo, guadagnandosi il titolo di capocannoniere della Bundesliga.
Manchester City
Il 7 gennaio 2011 viene ufficializzato il suo passaggio al per la cifra di 35 milioni di euro. Debutta con i Citizens il 15 gennaio nell'incontro di Premier League vinto 4-3 sul , dove fornisce un assist a Yaya Touré per il gol del 3-1. Il 30 gennaio segna la sua prima rete con la nuova squadra, andando a segno nella gara di FA Cup contro il (la competizione verrà poi vinta dal Manchester City). Chiude la stagione 2010-2011 con 21 presenze totali, di cui 15 in campionato, e 6 reti (2 in campionato, 2 in FA Cup e 2 in Europa League).
Alla terza giornata del campionato 2011-12, il 28 agosto, realizza un poker (4 gol) contro il , determinando la vittoria dei Citizens per 5-1. Il 23 ottobre segna due reti nel derby contro il , poi vinto col punteggio di 6-1. Il 13 maggio 2012, nell'ultima partita di campionato contro il , segna nei minuti finali la rete del 2-2, permettendo alla sua squadra di pareggiare: alla fine il City vincerà per 3-2 con il gol di Sergio Agüero, vincendo così il campionato inglese e laureandosi campione nazionale dopo 44 anni.
La stagione 2014-2015, l'ultima con la maglia del Manchester City, è la peggiore per lui a livello realizzativo: segna infatti soltanto sei reti in trentadue presenze, di cui quattro in ventidue partite di Premier League.
Complessivamente con la maglia del Manchester City ha collezionato, in quattro anni, 189 presenze e 72 gol.
Roma L'11 agosto 2015, a 29 anni, viene ceduto alla in prestito per 4 milioni di euro, con opzione di riscatto per 11 milioni (esercitata nei mesi successivi). Sceglie la maglia numero 9 e debutta in Serie A nella prima giornata sul campo del (1-1). Il 30 agosto segna la sua prima rete per i capitolini, contribuendo alla vittoria finale per 2-1 in casa contro la . Il suo rendimento durante la prima stagione in giallorosso è inferiore alle attese: in 31 presenze in campionato Džeko realizza 8 gol (39 presenze e 10 reti considerando tutte le competizioni).
L'annata successiva è di tutt'altro spessore: mostrando un'ottima vena realizzativa fin dalle prime uscite, il centravanti bosniaco si afferma come il miglior marcatore stagionale nella storia della Roma, toccando quota 39 reti (tra campionato e coppe) in occasione della sfida vinta 2-0 contro l' del 1º aprile 2017; il record precedente apparteneva a Francesco Totti, autore di 32 gol nella stagione 2006-2007. Oltre a ciò, Džeko supera il primato personale di 36 reti stabilito nella stagione 2008-2009. Si laurea inoltre capocannoniere dell'Europa League con 8 reti (a pari merito con Giuliano) e della Serie A 2016-2017 con 29 reti.
Il 27 settembre 2017, durante la partita contro il valida per la fase a gironi della Champions League 2017-2018, realizza la 100ª rete dei giallorossi nelle competizioni UEFA per club, contribuendo alla vittoria per 2-1 del proprio club, che nella manifestazione europea non riusciva a imporsi in trasferta da sette anni (-Roma 2-3, 3 novembre 2010). Grazie alle sue ottime prestazioni, il 9 ottobre 2017 viene nominato tra i 30 candidati al Pallone d’Oro 2017, classificandosi infine 28º. Nella stagione successiva realizza 16 reti in campionato (con 4 doppiette, di cui una nel successo per 4-2 in casa del ) e 8 in Champions League. In Champions è decisivo prima nel pareggio per 3-3 in casa del (completando la parziale rimonta dei giallorossi da 2-0 a 2-3, segnando la rete del pareggio con un sinistro al volo). Nel doppio confronto ai quarti di finale contro il , realizza una rete nella sconfitta per 4-1 al Camp Nou, mentre nel match di ritorno apre le marcature segnando la rete dell'1-0, dando così il via alla rimonta giallorossa.
Il 2 ottobre 2018 segna la sua prima tripletta in Champions League, nonché prima tripletta di un calciatore della Roma in tale competizione, nella gara contro il , valida per la seconda giornata della fase a gironi della Champions League 2018-2019. Pur realizzando poche reti in questa stagione, entra nella top ten dei marcatori della squadra capitolina.
Durante la stagione 2019-2020 (aperta con un rinnovo di contratto), dopo l'addio di Alessandro Florenzi a gennaio, Džeko diventa il nuovo capitano della Roma, il primo straniero dal 1998. Nel mentre tiene un buon rendimento in fase realizzativa e il 1º febbraio, contro il , il bosniaco mette a segno la centesima rete in maglia giallorossa, divenendo il settimo a riuscirci nell'intera storia dei capitolini. Il 15 luglio 2020, grazie alla rete in campionato contro il (2-1), Džeko raggiunge le 105 marcature ufficiali complessive con la Roma, divenendo pertanto il migliore marcatore straniero nella storia giallorossa, nonché il quinto miglior realizzatore giallorosso di tutti i tempi.