In analisi matematica, unequazione differenziale alle derivate parziali, detta anche equazione alle derivate parziali (termine abbreviato in EDP o spesso in PDE, dall'acronimo inglese Partial Differential Equation), è un'equazione differenziale che coinvolge le derivate parziali di una funzione incognita di più variabili indipendenti.
In essa si descrive la funzione indirettamente attraverso una relazione fra se stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale - cioè deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione classica (o in senso classico) dell'equazione è una funzione di tutte le variabili indipendenti espresse nell'equazione e che possieda tutte le derivate necessarie per dare senso alla relazione verificandola puntualmente.
Generalità
Sono comunemente usate per formulare e risolvere problemi fisici importanti quali la propagazione del suono o del calore e in svariati campi quali l'elettrostatica, l'elettrodinamica, meccanica dei fluidi, aerodinamica, elasticità, meccanica quantistica, relatività. Importanti applicazioni sono presenti anche in geometria differenziale in connessione con le diverse nozioni di curvatura. Sono inoltre state usate con successo per descrivere modelli matematici in biologia e medicina come modelli di dinamica delle popolazioni, crescita di cellule nei tumori e chemiotassi. Altre applicazioni recenti riguardano invece i modelli matematici dei mercati finanziari, in particolare con esse viene descritta la dinamica delle opzioni finanziarie attraverso la celebre formula di Black e Scholes.
In generale per una EDP possono essere studiati svariati problemi che dipendono dalla natura stessa della equazione. Per esempio, nelle equazioni classiche della fisica matematica, definite in un certo dominio spaziale, vengono prescritte delle condizioni al bordo se il dominio ha una frontiera, o delle condizioni ai limiti se si considerano domini infiniti. Qualora, come nel caso ad esempio della equazione del calore o della equazione delle onde, una delle variabili sia il tempo allora ha senso prescrivere anche delle condizioni iniziali studiando il relativo problema di Cauchy. In tal caso il problema è ben posto se si ha esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati (al contorno o iniziali).
Descrizione Un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine ha la forma:.
dove è un numero intero, è un operatore di derivazione di ordine rispetto a una o più variabili e la variabile appartiene ad un sottoinsieme aperto di .
La funzione :
è data, mentre la funzione :
è l'incognita dell'equazione.
La risoluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali consiste nella ricerca delle funzioni che la rendono un'identità su un opportuno insieme. Solitamente è anche richiesto che le soluzioni soddisfino determinate condizioni al contorno ausiliarie. Ad esempio, per ottenere l'unicità della soluzione si pongono spesso opportune condizioni per un qualche cammino della frontiera di .
Solitamente non è possibile trovare la funzione incognita esplicita: ad eccezione di casi particolari, la ricerca della soluzione consiste nello studio dell'esistenza e delle proprietà che essa deve assumere.
Notazione Nella teoria delle PDE se si indica con la funzione incognita allora la sua derivata parziale rispetto alla variabile viene spesso indicata con la notazione abbreviata :
Nella tradizione anglosassone si preferisce l'uso dell'operatore nabla, che in un sistema cartesiano viene formalmente trattato come il campo vettoriale . Ad esempio, per una funzione scalare ed un campo vettoriale :
Nella tradizione della fisica matematica le derivate rispetto al tempo vengono talvolta indicate con la notazione di Newton.
L'equazione è detta di ordine q se è l'ordine massimo delle derivate che vi compaiono. Se l'equazione dipende linearmente dall'incognita e dalle sue derivate è detta lineare, mentre nel caso in cui le derivate di ordine massimo compaiano solo linearmente (con coefficienti che possono dipendere dalle derivate di ordine inferiore), l'equazione è detta quasi-lineare. Un'equazione quasi-lineare i cui coefficienti sono solo funzione delle variabili indipendenti (ma non dipendono dalla soluzione ) è detta semi-lineare. Infine un'equazione è detta omogenea se non compaiono termini indipendenti dalla funzione incognita .
Linearità Un'equazione differenziale alle derivate parziali può essere lineare, semilineare, quasilineare o totalmente non lineare:.
L'equazione si dice lineare se ha la forma:
per opportune funzioni ed . Se l'equazione si dice omogenea.
L'equazione si dice semilineare se ha la forma:
L'equazione si dice quasilineare se ha la forma:
L'equazione si dice totalmente non lineare se dipende in modo non lineare dal più alto grado di derivazione.
Sistema di equazioni alle derivate parziali Un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di ordine ha la forma:
La funzione:
è data, mentre la funzione :
con
che è l'incognita del sistema.
Si è posto che il sistema abbia tante equazioni quante incognite, in numero pari a .
Problemi ben posti e soluzioni
Non esiste una teoria universale che fornisca un metodo unico per risolvere le equazioni alle derivate parziali.. La ricerca scientifica si è di conseguenza concentrata principalmente su equazioni di rilevante interesse matematico e fisico, sviluppandone le particolari metodologie risolutive.
Un problema relativo ad un'equazione differenziale alle derivate parziali si dice informalmente ben posto se ha una soluzione, se tale soluzione è unica e se dipende in modo continuo dai dati forniti dal problema.. Un problema ben posto contiene tutte le caratteristiche ideali al fine di studiarne la risolubilità. L'ultima condizione è particolarmente importante nelle applicazioni fisiche: la dipendenza continua dai dati del problema significa che una loro variazione piccola a piacere ha conseguenze altrettanto piccole sulla soluzione. Per ottenere problemi ben posti si utilizzano solitamente opportune condizioni al contorno.
La soluzione di un'equazione alle derivate parziali non possiede caratteristiche generali, e varia a seconda del problema. Si definisce informalmente soluzione classica di una PDE di ordine una funzione differenziabile fino all'ordine -esimo, tale che tutte le derivate esistono e sono continue. Risolvere una PDE in senso classico significa dunque cercare una funzione liscia o almeno di classe .
Si determina quindi la soluzione di un problema ben posto in senso classico quando tra le soluzioni in senso classico ne esiste soltanto una che soddisfi la definizione di problema ben posto.
Per la maggior parte delle equazioni differenziali alle derivate parziali, tuttavia, non esistono soluzioni classiche. In generale, ad esempio, le equazioni di continuità non hanno soluzioni classiche. Se si ammette una funzione non differenziabile come soluzione di un problema ben posto, tale soluzione è chiamata debole o generalizzata.. Il motivo per cui si definisce una classe di funzioni che sono soluzioni deboli di una PDE risiede nel fatto che la ricerca di una soluzione classica è spesso di notevole difficoltà, qualora sia possibile. Ponendo condizioni meno restrittive alla soluzione il problema si semplifica o diventa possibile, essendo più semplice trovare una soluzione unica e dipendente in modo continuo dai dati del problema. Esistono casi, infine, in cui la soluzione debole trovata è sufficientemente regolare da poter essere considerata classica. Il problema del poter considerare regolare una soluzione debole, tuttavia, è frequentemente succube di notevoli difficoltà matematiche.
Per illustrare quanto detto con un esempio, si consideri la successione di problemi di Cauchy per l'equazione di Laplace:
con condizioni al contorno:
dove è intero. La derivata di rispetto a converge uniformemente a zero nella variabile al crescere di , ma la soluzione è:
Questa soluzione tende a infinito se non è un multiplo intero di per ogni . Il problema non è dunque un problema ben posto poiché la soluzione non dipende con continuità dal dato iniziale.
Limiti del teorema di Cauchy-Kovalevskaya
Mentre per le equazioni ordinarie il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy ed il teorema di esistenza di Peano forniscono un'ampia risposta al problema dell'esistenza e unicità di eventuali soluzioni, il caso delle equazioni alle derivate parziali è molto più complesso. Il teorema di Cauchy-Kovalevskaya stabilisce che se i coefficienti dell'equazione sono funzioni analitiche rispetto alla funzione incognita e le sue derivate, allora esiste una funzione analitica che è localmente l'unica soluzione. Questo risultato, tuttavia, non si applica alle funzioni lisce. Un noto esempio, dovuto a Hans Lewy, mostra che su esiste una funzione liscia tale che l'equazione:
non ha soluzioni su nessun aperto. Se fosse analitica il teorema di Cauchy-Kovalevskaya garantirebbe l'esistenza di una soluzione.
Esempio Nella maggior parte dei casi non è possibile determinare la soluzione di una EDP; quando risulta fattibile si nota che mentre le soluzioni generali delle equazioni differenziali ordinarie vedono la presenza di costanti arbitrarie, le soluzioni delle equazioni differenziali alle derivate parziali implicano funzioni arbitrarie. Si consideri ad esempio l'equazione differenziale alle derivate parziali:
Tale relazione implica che la funzione è indipendente da . Quindi la soluzione generale di questa equazione è:
dove è un'arbitraria funzione di . L'analoga equazione differenziale ordinaria è:
che ha come soluzione:
dove è una costante.
La soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali non è in generale unica, e risulta necessario porre delle condizioni aggiuntive alla frontiera di una regione in cui la soluzione è definita. Ad esempio, la funzione può essere determinata se è nota lungo la linea .
PDE in due variabili PDE del primo ordine
Un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine ha la forma:
In due dimensioni:
dove e . Un integrale completo dell'equazione è una soluzione dipendente da due parametri e (in particolare, il numero dei parametri è pari alla dimensione dello spazio). Scegliendo una funzione arbitraria , ponendo e determinando richiedendo che la derivata totale sia nulla:
una soluzione è data da:
Se non è possibile avere l'integrale completo si può ricavare una soluzione risolvendo un sistema di equazioni differenziali ordinarie ottenuto sfruttando il metodo delle caratteristiche, che permette di trovare le curve lungo le quali l'equazione si comporta come un'equazione ordinaria.
PDE del secondo ordine La classificazione di una PDE dipende esclusivamente dai coefficienti delle derivate di ordine massimo presenti nell'equazione stessa. Le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili, cui si possono ricondurre con opportuni cambi di variabile anche i sistemi di PDE del secondo ordine, hanno forma generale:
dove si sono scritti i termini di grado massimo e si è assunto . Se in una regione del piano , in tale regione l'equazione è del secondo ordine. Convertendo (tramite, ad esempio, la trasformata di Fourier) le derivate in variabili elevate al grado della derivata (ovvero l'esponente è il grado di derivazione) si ottiene l'equazione della sezione conica:
Queste PDE vengono allora generalmente classificate come paraboliche, iperboliche o ellittiche secondo la tipologia dell'equazione associata, col criterio sul discriminante riportato brevemente :
Se l'equazione è un'equazione differenziale alle derivate parziali ellittica. Se l'equazione è un'equazione differenziale alle derivate parziali parabolica. Se l'equazione è un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica.