I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo. La normalità di un dominio è molto importante in molte definizioni di integrale multiplo e della sua risoluzione tramite le formule di riduzione. Inoltre la presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.
Domini normali nel piano In esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:
Dominio normale rispetto all'asse x La regione è delimitata per l'asse da due valori numerici e per l'asse da due funzioni della variabile continue nell'intervallo che la delimita:
Dominio normale rispetto all'asse y La regione è delimitata per l'asse da due valori numerici e per l'asse da due funzioni della variabile continue nell'intervallo che la delimita:
Domini normali nello spazio thumb|Esempio di dominio normale in R3 (piano xy) In esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani coordinati. Sia l'insieme considerato e la proiezione ortogonale di sul piano coordinato fissato, allora si hanno le seguenti sei possibilità:
Dominio normale rispetto al piano (x,y) è normale al piano
con normale all'asse con normale all'asse
Dominio normale rispetto al piano (y,z) è normale al piano
con normale all'asse con normale all'asse
Dominio normale rispetto al piano (z,x) è normale al piano
con normale all'asse con normale all'asse
Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" e compreso tra le funzioni e :
, con
In generale in il numero dei domini semplici è dato dalla relazione , ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.
Dominio normale regolare e orientamento della frontiera
Dominio normale regolare Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe . Inoltre un dominio regolare è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari , a due a due privi di punti interni in comune:
Orientamento della frontiera Sia dominio regolare, convenzionalmente si dice che è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti tali che i versori normali canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con .
Lemma sulla decomposizione dei normali Siano e domini normali si ha che esiste una decomposizione di e di del tipo e tali che: ed sono domini normali; e e dove è il diametro del dominio.
Bibliografia Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Nicola Fusco Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.
Voci correlate Dominio (matematica) Integrale multiplo
Categoria:Funzioni reali di più variabili reali