In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio , può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.
Definizione Insiemi Dato un insieme misurabile , il suo riordinamento radiale in è dato da:
dove è il volume della sfera unitaria e il volume di . Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di .
Funzioni Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa i cui insiemi di livello hanno misura finita è:
Ovvero, il valore di fornisce il valore tale per cui il raggio del riordinamento radiale di è . Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:
è valida per ogni funzione non-negativa ; quindi la definizione data è l'unica che implica .
Proprietà Simmetria radiale: è evidente dalla definizione, infatti se allora .
Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se allora:
Semicontinuità inferiore.
Teoremi Stima di decrescita Se è lipschitziana con costante di Lipschitz L e , allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:
Dimostrazione Il numero rappresenta la misura dell'insieme , cioè:
La è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni e , e si ottiene:
Ricordando che e che il bordo di è contenuto nell'insieme , per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:
La funzione è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:
Mettendo insieme le relazioni trovate:
e si trova così la stima cercata.
Lipschitzianità del riordinamento Sia tale che . Se è Lipschitziana con costante di Lipschitz allora anche la è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.
Norma del riordinamento Se è una funzione appartiene allo spazio , anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:
Dimostrazione Esprimendo il calcolo della norma di in funzione della misura dei sopralivelli:
Lo stesso calcolo vale per la norma di .
Norma del riordinamento Vale la disuguaglianza di Pólya-Szegő, per cui se una funzione appartiene allo spazio anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.
Bibliografia G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
Voci correlate Disuguaglianza di Pólya-Szegő Disuguaglianza di Sobolev Formula di coarea Teorema di Brothers-Ziemer
Categoria:Analisi funzionale