Il lemma di Slutsky è una delle applicazioni del teorema di Slutsky, utilizzato in particolare per dimostrare che la continuità di una funzione è condizione necessaria e sufficiente per la conservazione della convergenza in probabilità.
Lemma Enunciato Siano e variabili casuali k-dimensionali; considero continua e ipotizzo che . Allora:
Dimostrazione (caso unidimensionale) Fisso . Considero un compatto t.c. . Dunque: . Dal teorema di Heine-Cantor, so che una funzione continua su un compatto è anche uniformemente continua, cioè t.c. se allora . Per ipotesi so che , cioè t.c. , Ora
Dunque
e quindi, per l'uniforme continuità
cioè
che è la tesi.
Voci correlate Convergenza in probabilità Teorema di Slutsky Variabili casuali
Categoria:Teoria della probabilità