In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di Frattini di un gruppo è l'intersezione di e di tutti i sottogruppi propri massimali di In particolare, secondo la definizione, se non ha sottogruppi propri massimali allora coincide con stesso. È simile al radicale di Jacobson che si incontra nella teoria degli anelli. Intuitivamente può essere pensato come il sottogruppo di "piccoli elementi", infatti è caratterizzato dall'essere l'insieme di tutti i "non generatori" di
Il suo nome deriva da Giovanni Frattini, che ne definì il concetto in un lavoro pubblicato nel 1885.
Proprietà
coincide con l'insieme di tutti i "non generatori" di «Enunciato» e «dimostrazione» da PlanetMath. (Un elemento è un non generatore se può essere sempre rimosso da un insieme di generatori del gruppo senza che quest'ultimo perda tale qualità; cioè è tale che per ogni insieme generatore di si ha che è ancora un insieme generatore di G«Non-generator» da PlanetMath..) è sempre un sottogruppo caratteristico di in particolare, è sempre un sottogruppo normale di ). Se è un gruppo finito, allora è un gruppo nilpotente«The Frattini subgroup of a finite group is nilpotent» da PlanetMath. Se è un p-gruppo, allora Così il sottogruppo di Frattini, rispetto all'inclusione, è il più piccolo sottogruppo normale tale che il gruppo quoziente è un -gruppo abeliano elementareOvvero un gruppo abeliano (finito) i cui elementi abbiano tutti ordine uguale a un numero (primo) (ad eccezione, ovviamente, dell'unità). Vedi «Elementary abelian group» da PlanetMath, il che equivale a dire isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici di ordine Inoltre, se il gruppo quoziente (chiamato anche il quoziente (o fattore) di Frattini di ) ha ordine allora è il più piccolo numero di generatori di (cioè la minima cardinalità per un insieme di generatori di ). In particolare, un p-gruppo finito è ciclico se e solo se il suo quoziente di Frattini è ciclico (di ordine ). Un -gruppo è un gruppo abeliano elementare se e solo se il suo sottogruppo di Frattini è il gruppo banale.
Esempio
Un esempio di gruppo con sottogruppo di Frattini non banale è un gruppo ciclico di ordine con numero primo. Se indichiamo con il gruppo ciclico e con un suo generatore, allora si ha .
Note
Voci correlate Argomento di Frattini
Collegamenti esterni
Da PlanetMath: «Frattini subgroup» (definizioni alternative)
«The Frattini subgroup of a finite group is nilpotent» (dimostrazione) Hailé Béréda, «Sur une classe de p-groupes» Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 5ième série, Tome 4, N. 2, p 191-194
Categoria:Teoria dei gruppi