Divisione dei polinomi

In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché separa il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili p.19.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi e esistono unici altri due polinomi e tali che:

posto che il grado di sia minore di quello di . Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di e quello di .

Nel caso in cui , sarebbe divisibile per .

L'algoritmo L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi pp.20-21: <li> Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di (ad esempio, andrà scritto come ).

{|style="margin-top: 1.3em;border-collapse: collapse" cellpadding="3" |||style="border-left:1px solid #000;"| |- | ||style="border-left:1px solid #000; border-top:1px solid #000;"|

| ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | ||style="border-left:1px solid #000;"|

<li> Si divide il termine di grado massimo di per il termine di grado massimo di e si scrive il risultato sotto .

{|style="border-collapse: collapse" cellpadding="3" |- |||||||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000; border-top:1px solid #000"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"|

<li> Si moltiplica questo termine per il polinomio e si scrive il risultato sotto , incolonnando ogni termine sotto il termine di di grado uguale.

{|style="border-collapse: collapse" cellpadding="3" |- |||||||style="border-left:1px solid #000;"|

|style="border-left:1px solid #000; border-top:1px solid #000"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"|

<li> Si esegue la sottrazione tra e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore ( o anche meno).

{|style="border-collapse: collapse" cellpadding="3" |- |||||||style="border-left:1px solid #000;"|

|style="border-left:1px solid #000; border-top:1px solid #000"| |- |style="border-top:1px solid #000;"| ||style="border-top:1px solid #000;"| |style="border-top:1px solid #000;"| ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"| |- | || || ||style="border-left:1px solid #000;"|

<li> Se il grado di questo polinomio differenza è maggiore o uguale a quello di si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso come dividendo e aggiungendo il termine

a destra del termine , come addendo successivo.

<li> Quando si sarà raggiunto un polinomio di grado inferiore a , allora tale polinomio sarà il resto della divisione; il polinomio

formatosi mano a mano sotto , sarà invece il polinomio quoziente.

Esempio Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

per il polinomio

Passo 1 Scriviamo i due polinomi e come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0. {|style="border-collapse: collapse" cellpadding="3"

|style="border-left: 1px solid #000;"| |- | || || || || ||style="border-left: 1px solid #000; border-top: 1px solid #000"| |- | || || || || ||style="border-left: 1px solid #000;"| |- | || || || || ||style="border-left: 1px solid #000;"| |- | || || || || ||style="border-left: 1px solid #000;"|

Passo 2 Dividiamo il termine di grado massimo di , che risulta essere , per il termine di grado massimo di , che è e scriviamo il risultato sotto . {|style="border-collapse: collapse" cellpadding="3"

Passo 3 Ora scriviamo, sotto , il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio . Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo. {|style="border-collapse: collapse" cellpadding="3"