In matematica e informatica un algoritmo è la specificazione di una sequenza finita di operazioni (dette anche istruzioni) che consente di risolvere tutti i quesiti di una stessa classe o di calcolare il risultato di un'espressione matematica.
Un algoritmo deve essere: finito: è costituito da un numero finito di istruzioni e deve sempre terminare; deterministico: partendo dagli stessi dati in ingresso, si devono ottenere i medesimi risultati; non ambiguo: le operazioni non devono poter essere interpretate in modi differenti; generale: deve essere applicabile a tutti i problemi della classe a cui si riferisce o ai casi dell'espressione matematica.
Il termine deriva dalla trascrizione latina del nome del matematico persiano al-Khwarizmi,Luca Serianni, Grammatica italiana, ed. UTET-De Agostini, Torino, 2010, ISBN 978-88-6008-057-8, p. 104. vissuto nel IX secolo d.C., che è considerato uno dei primi autori ad aver fatto riferimento a questo concetto nel suo libro: ‘Regole di ripristino e riduzione’.
Le prime nozioni di algoritmo si trovano in documenti risalenti al XVII secolo a.C., conosciuti come i papiri di Ahmes, noti anche come papiri di Rhind, che contengono una collezione di problemi con relativa soluzione, comprendendo un problema di moltiplicazione che lo scrittore dichiara di aver copiato da altri papiri anteriori di due secoli.
L'algoritmo è un concetto fondamentale dell'informatica, anzitutto perché è alla base della nozione teorica di calcolabilità: un problema è calcolabile quando è risolvibile mediante un algoritmo. Inoltre, l'algoritmo è un concetto cardine anche nella fase di programmazione dello sviluppo di un software: preso un problema da automatizzare, la programmazione costituisce essenzialmente la traduzione o codifica di un algoritmo per tale problema in programma, scritto in un certo linguaggio, che può essere quindi effettivamente eseguito da un calcolatore rappresentandone la logica di elaborazione.
Definizione Il primo algoritmo informatico è stato ideato dalla matematica britannica Ada Lovelace per il calcolo dei numeri di Bernoulli. Nel XX secolo, il concetto di algoritmo venne formalizzato per risolvere il problema matematico della "decisione" (Entscheidungsproblem), posto da David Hilbert nel 1928, e altre successive formalizzazioni giunsero con lo sviluppo dei concetti di "calcolabilità effettiva"Kleene 1943 in Davis 1965:274 e di "metodo effettivo"Rosser 1939 in Davis 1965:225. Le formalizzazioni matematiche più famose sono le funzioni ricorsive di Gödel–Herbrand–Kleene del 1930, 1934 e 1935; il lambda calcolo di Alonzo Church e la Formulation 1 di Emil Leon Post del 1936; e, infine, la macchina di Turing del 1936–37 e 1939. Nonostante ciò, una definizione del concetto di algoritmo che sia formale e non tecnica manca tuttora e si è pertanto costretti ad accontentarsi dell'idea intuitiva di algoritmo come "una sequenza ordinata e finita di passi (operazioni o istruzioni) elementari che conduce a un ben determinato risultato in un tempo finito".
Modelli formali
È necessario disporre di una definizione più rigorosa per trattare il concetto di algoritmo con strumenti matematici. Al tal fine sono stati definiti alcuni modelli matematici di algoritmo, fra i quali uno dei più celebri è la macchina di Turing, ovvero una sorta di computer ideale corredato di un programma da eseguire. Rispetto a un computer reale, la macchina di Turing ha un funzionamento più semplice e facilmente descrivibile con termini matematici, facendo uso di concetti come insieme, relazione e funzione.
La macchina di Von Neumann, che è il modello di architettura primigenio di tutti i computer attuali, è equivalente, in termini di potere di calcolo, alla macchina di Turing. In altre parole, è stato dimostrato che un certo problema può essere risolto da un computer (opportunamente programmato) se e solo se esso può essere risolto anche da una macchina di Turing. Oltre alla macchina di Turing, proposta da Alan Turing nel 1936, nello stesso periodo altri matematici hanno elaborato diverse rappresentazioni formali del concetto di algoritmo, fra i quali ricordiamo, per esempio, il lambda calcolo. Dopo alcuni anni, emerse che tutti questi modelli erano equivalenti: .
Da questi risultati, tra l'altro, scaturì la tesi di Church-Turing, che afferma che qualsiasi algoritmo sia modellabile con una macchina di Turing. In altri termini, questa tesi sostiene che è sostanzialmente impossibile cercare di immaginare un modello di algoritmo più potente e, di conseguenza, che nessuna macchina potrà mai risolvere problemi che una macchina di Turing non possa risolvere in linea di principio. Non si tratta di un teorema dimostrato matematicamente, poiché la tesi stabilisce l'eguaglianza di due concetti, l'algoritmo e la macchina di Turing, ma il primo non possiede una definizione formale. La tesi è oggi generalmente condivisa, sebbene i progressi nelle ricerche nel settore dell'ipercomputazione sembrino talvolta metterla in discussione.
Vi è anche l'algoritmo di Hirschberg, dal nome del suo creatore, Dan Hirschberg, di programmazione dinamica che trova l'allineamento ottimale della sequenza tra due stringhe.
Proprietà fondamentali degli algoritmi
Dalla precedente definizione di algoritmo si evincono alcune proprietà necessarie, senza le quali un algoritmo non può essere definito tale: i passi costituenti devono essere "elementari", ovvero non ulteriormente scomponibili (atomicità); i passi costituenti devono essere interpretabili in modo diretto e univoco dall'esecutore, sia esso umano o artificiale (non ambiguità); l'algoritmo deve essere composto da un numero finito di passi e richiedere una quantità finita di dati in ingresso (finitezza) l'esecuzione deve avere termine dopo un tempo finito (terminazione); l'esecuzione deve portare a un risultato univoco (effettività).
Così, ad esempio, "rompere le uova" può essere considerato legittimamente un passo elementare di un "algoritmo per la cucina" (ricetta), ma non potrebbe esserlo anche "aggiungere sale quanto basta" dato che l'espressione "quanto basta" è ambigua, e non indica con precisione quali passaggi servano per determinare la quantità necessaria.
All'istruzione non elementare di preparazione della crema potrebbe, però, essere associato un opportuno rimando a un'altra sezione del ricettario, che fornisca un sotto-algoritmo apposito per questa specifica operazione. Questo suggerisce che, per comodità d'implementazione, gli algoritmi possano essere modulari, ovvero orientati a risolvere specifici sotto-problemi, e gerarchicamente organizzati. Inoltre, una ricetta che preveda la cottura a microonde non può essere preparata da un esecutore sprovvisto dell'apposito elettrodomestico; questo rimanda al problema della realizzabilità degli algoritmi, ovvero della loro compatibilità con le risorse materiali e temporali a disposizione. Infine, possono darsi più algoritmi validi per risolvere uno stesso problema, ma ognuno con un diverso grado di efficienza.
L'algoritmo viene generalmente descritto come "procedimento di risoluzione di un problema". In questo contesto, i "problemi" che si considerano sono quasi sempre caratterizzati da dati di ingresso (input) variabili, su cui l'algoritmo stesso opererà per giungere fino alla soluzione. Per esempio, il calcolo del massimo comune divisore fra due numeri è un esempio di "problema", e i suoi dati di ingresso, variabili di volta in volta, sono i due numeri in questione. A un non matematico questa potrebbe apparire come una "famiglia di problemi" (il problema di calcolare il massimo comune divisore fra 10 e 15, il problema di calcolarlo fra 40 e 60, fra 35 e 95, e così via). Il matematico e l'informatico identificano con la parola "problema" l'intera famiglia e con "istanza" o "x" ciascuno dei quesiti specifici ottenuti fissando due particolari valori. Data questa premessa, un algoritmo risolve un problema se per qualunque istanza del problema esso produce in un tempo finito la soluzione desiderata, ovvero un certo risultato o dato in uscita (output) a partire da dei dati in ingresso (input).
Se questa idea aveva già una certa importanza per il calcolo matematico, l'avvento dell'informatica l'ha arricchita di una nuova importanza, ed è infatti con l'informatica che il termine "algoritmo" ha iniziato a diffondersi. Difatti, se per ottenere un certo risultato (risolvere un certo problema) esiste un procedimento infallibile, che può essere descritto in modo non ambiguo fino ai dettagli, e conduce sempre all'obiettivo desiderato in un tempo finito, allora esistono le condizioni per affidare questo compito a un computer, semplicemente introducendo l'algoritmo in questione in un programma scritto in un opportuno linguaggio comprensibile alla macchina.
Inizialmente un algoritmo può essere descritto attraverso l'uso di un diagramma di flusso o ricorrendo a uno pseudocodice. Successivamente, nella fase di programmazione l'algoritmo così scritto verrà tradotto in linguaggio di programmazione a opera di un programmatore sotto forma di codice sorgente dando vita al programma che sarà eseguito dal calcolatore, eventualmente dopo un'ulteriore traduzione in linguaggio macchina. Particolare rilevanza teorica in tale ambito assume il teorema di Böhm-Jacopini che afferma che qualunque algoritmo può essere implementato utilizzando tre sole strutture, la sequenza, la selezione e il ciclo (iterazione), da applicare ricorsivamente alla composizione di istruzioni elementari. Nella pratica corrente il programmatore professionista nel suo lavoro svolge automaticamente questo processo di traduzione scrivendo direttamente il codice sorgente necessario nelle suddette modalità avendo già trovato la soluzione al problema dato.
Approccio matematico Esistono numerosi modelli matematici di algoritmo. In generale, un algoritmo riceve un insieme di valori (dati) in input e ne genera uno in output (chiamato soluzione). Dato dunque un algoritmo A si denota con fA la funzione che associa a ogni ingresso x di A la corrispondente uscita.
Questa corrispondenza tra input e output non rappresenta il problema risolto dall'algoritmo. Formalmente, un problema è una funzione definita su insieme Di di elementi che chiameremo restanze, a valori su un insieme Ds di risoluzioni.
Lo studio di un algoritmo viene suddiviso in due fasi: sintesi (detta anche disegno o progetto): dato un problema A, costruire un algoritmo f per risolvere A, cioè tale che f=fa. analisi: dato un algoritmo f e un problema A, dimostrare che f risolve A, cioè f=fa (correttezza) e valutare la quantità di risorse usate da f (complessità concreta).
Formalizzazione di un problema A ogni problema si ha che:
dove sono le istanze del problema e sono le soluzioni e sia una soluzione al problema per l'istanza x.
Studio della complessità computazionale di un algoritmo
Un'ampia porzione della teoria degli algoritmi è lo studio della complessità, computazionale e spaziale. Vogliamo cioè sapere, al crescere della complessità del problema, in che modo cresce il tempo necessario a eseguire l'algoritmo e lo spazio di memoria occupato in un calcolatore.
La complessità di un algoritmo si misura asintoticamente. Vi sono quattro metodi per calcolare la complessità di un algoritmo: metodo di sostituzione metodo dell'iterazione metodo dell'albero metodo dell'esperto
Si definisce asintotica per due motivi: poiché ogni calcolatore può implementare algoritmi in modo differente, non si può stimare il tempo preciso si vuole dare un'idea quantitativa di come l'algoritmo possa crescere in consumo di tempo all'aumentare dell'input, per valori sempre maggiori.
Presa una funzione associata a un algoritmo del tipo:
si può definire la funzione peso come
che esprime la dimensione dei dati in ingresso, ossia il numero di bit che servono per codificare i dati in input all'algoritmo.