Un sistema di numerazione è un modo di esprimere e rappresentare i numeri attraverso un insieme di simboli.
I numeri, fin dai tempi antichi, sono uno strumento necessario per quantificare un insieme di elementi. Tutte le civiltà conosciute hanno ideato un sistema di numerazione, a partire dalle popolazioni primitive che adottavano il sistema di numerazione additivo fino all'epoca attuale, in cui è diffuso il sistema di numerazione posizionale.
Nel corso della storia sono state adottate svariate notazioni numerali in gran parte poco razionali fino a giungere con una certa fatica alle notazioni oggi più diffuse, pratiche e canoniche, le notazioni posizionali decimali.
Storia
Nell'antica Roma si adoperava un sistema basato essenzialmente sul numero cinque (vedi numeri romani), additivo e non posizionale: il simbolo X rappresenta sempre il numero dieci, V il numero cinque, e così via; invece, il comune sistema decimale è di tipo posizionale: ogni cifra assume un significato diverso a seconda della posizione in cui si trova (unità, decine, centinaia, ecc.); i sistemi di tipo posizionale sono stati tramandati dagli Arabi.
Dalla metà del XX secolo si sono quindi precisati sistemi di numerazione adatti non solo agli esseri umani, ma anche alle macchine. Per soddisfare certe esigenze accanto al sistema canonico vengono considerati alcuni sistemi esotici che presentano alcuni pregi pratici e un certo interesse matematico. Con lo sviluppo del computer si sono posti altri problemi che oggi sono padroneggiati in modo soddisfacente.
Tipologie I sistemi di numerazione si riferiscono quindi alla successione dei cosiddetti numeri naturali. I più antichi sistemi di numerazione hanno base dieci, con riferimento all'atto di contare con le dita delle mani. Per una definizione più formale di sistema di numerazione posizionale: si sceglie un qualsiasi numero naturale b (diverso da zero e da uno), che chiameremo base si scelgono b simboli diversi, che chiameremo cifre si compongono i numeri tenendo presente che il valore di ogni cifra va moltiplicato per: b0 cioè 1 (unità) se è l'ultima cifra alla destra del numero che stiamo considerando b1 cioè b se è la seconda cifra da destra, b2 se è la terza cifra da destra, e così via, b(n-1) se è la n-esima cifra da destra la somma di tutti i valori così ottenuti è il numero che stiamo considerando
Il sistema decimale-posizionale
Le ragioni della superiorità del sistema numerico decimale-posizionale, che si è diffuso dall'India, sono il principio posizionale (che di per sé denota i diversi ordini numerici) e l'uso di dieci simboli, comprensivi dello zero (che colmava i vuoti in un sistema posizionale). Un sistema posizionale è un naturale e sistematico sviluppo del sistema moltiplicativo in cui viene usata una base fissa, spariscono come superflui determinativi e moltiplicatori e dove il coefficiente è rappresentato dalla posizione della cifra nell'intera rappresentazione numerica. Le altre notazioni dovevano dare a ogni cifra un valore fisso a prescindere dalle posizioni. Nella numerazione cinese i segni per 7829 sono 7 mentre col sistema da noi utilizzato sono 4. Nel nostro sistema sono soppressi gli indicatori delle potenze di 10 e le cifre delle unità prendono diverso valore a seconda delle posizioni (misto ideale tra il numero di cifre e la necessità di iterazione delle stesse). In questo modo il linguaggio scritto comunica una rete di concetti mediante semplice permutazione di pochi simboli.
Il sistema decimale-posizionale consente anche una comoda esecuzione di operazioni aritmetiche: si mettono i numeri da sommare uno sotto l'altro e li si può addizionare colonna per colonna, riportando i totali eccedenti il 10 nella colonna a fianco (ordine superiore). Se si usano invece i numeri romani non c'è una notazione che abbia efficacia algoritmica (non è possibile cioè fare operazioni se non ricorrendo a un supporto esterno, tipo l'abaco).
Babilonesi, Cinesi e Maya con il principio di posizione già furono capaci di rappresentare qualsiasi numero con una quantità ridotta di cifre di base, ma ebbero dei limiti: I Babilonesi non associarono cifre diverse alle 59 unità significative del primo ordine, ma iteravano i due simboli disponibili. Essi non concepirono lo zero né come numero (quantità nulla) né come operatore aritmetico. I Cinesi mantennero la notazione ideografica e reintrodussero elementi di notazione moltiplicativa. Inoltre il loro uso dello zero fu sporadico e poco significativo. I Maya, con l'anomalia del moltiplicatore del terzo ordine numerico, persero la possibilità di utilizzare lo zero come operatore.
Notazioni numeriche alfabetiche Anche gli scribi israelitici e i matematici greci si dotarono di notazioni numeriche equivalenti allo ieratico egizio, ma utilizzarono le lettere (in ordine consecutivo) dei rispettivi alfabeti.
L'alfabeto fu il primo perfezionamento della scrittura adattabile a ogni inflessione di ogni lingua articolata e dava la possibilità di scrivere tutte le parole con un piccolo numero di segni fonetici (lettere). Esso fu opera dei Fenici, commercianti spinti da un bisogno comprensibile di concisione. Il commercio diede diffusione al loro sistema: sulle coste mediterranee (Greco, Latino, Etrusco) a sud (Moabiti, Ebrei, Nabatei) a est (Aramei, Siria, Persia, India)
Ci fu dunque un tentativo di sovrapporre ordine alfabetico e ordine numerico. Gli Ebrei usarono la numerazione alfabetica: Per le date del calendario Per i paragrafi dell'Antico Testamento Per le pagine delle opere scritte
Numero Ebraico Greco1 Aleph (‘) Alpha (a)2 Beth (b) Beta (b)3 Gimel (g) Gamma (g)4 Daleth (d) Delta (d)5 He (h') Epsilon (e)6 Waw (w) Faw-Digamma (f)7 Zain (z) Zeta (dz)8 Heth (h) Eta (e)9 Teth (t) Theta (th)10 Yod (y) Iota (i)20 Kaf (k,kh) Kappa (k)30 Lamed (l) Lambda (l)40 Mem (m) Mi (m)50 Nun (n) Ni (n)60 Samekh (s) Xi (ks)70 Ayin (‘) Omicron (o)80 Pe (p,f) Pi (p)90 Sade (s) San (s)100 Qof (q) Qoppa (q)200 Res (r) Ro (r)300 Sin (s) Sigma (s)400 Tav (t) Tau (t) Ypsilon (y) Phi (ph) Psi (ps) Chi (ch'i) Omega (o)
Evoluzione dei sistemi numerici I numeri concreti Ancor oggi ci sono popoli che non sanno contare, nel senso che non concepiscono numeri astratti e sono perplessi di fronte a operazioni del tipo 2+2=4. I Pigmei in Africa, i Botocudos in Brasile, gli Aranda in Australia computano 1, 2, massimo 3 e poi subito parlano in termini di "molti" ("tanti quanto i capelli in testa"). I bimbi di queste tribù hanno comunque nell'apprendimento una rapidità simile a quella dei nostri bambini.
I Boscimani non vanno oltre il cinque. Non c'è ancora astrazione matematica, la percezione della pluralità è ancora indissociata dalla natura degli oggetti presi in considerazione.
Per gli Aranda: 1 è ninta 2 è tara 3 è tara ma ninta (2 e 1) 4 è tara ma tara (2 e 2), a sua volta sinonimo di molti.
"2 e 1" e "2 e 2" non sono numeri astratti, bensì coppie di cose distinte: ci troviamo di fronte a una descrizione non sistematica di quantità con l'uso di un lessico specifico che per analogia definiamo "numerale"; la conta vera e propria implica il riconoscimento di una relazione che si definisce costante tra i diversi termini di una successione, relazione che a sua volta permette l'astrazione dai concreti singoli oggetti che vanno computati e l'articolazione della serie in una forma autonoma dall'empiria. In questa svolta cognitiva forse stanno le lontane radici degli assiomi di Peano.
Questa incapacità di contare oltre i primi numeri e le implicazioni emotive e culturali a ciò legate, possono essere ben esemplificate da una storia che capitò a Francis Galton che in una transazione con un Damera sudafricano si trovò di fronte a questa situazione: doveva ricevere 2 pecore in cambio di 4 stecche; il Damera però non comprendeva questa equivalenza perché non riusciva a sintetizzare la nozione di "4". Perciò la transazione così costruita lo metteva in confusione, e andava avanti e indietro da una pecora all'altra; si rasserenò solo quando la somma fu scomposta nelle due operazioni singole che la costituivano.
Questa incapacità di contare oltre il tre o il quattro si può rintracciare anche nel lessico indoeuropeo e in altre culture: nell'Egitto faraonico 3x corrisponde al plurale di x: 3 scarabei = gli scarabei. Nel cinese antico 3 alberi (森) = foresta, 3 uomo = folla. Per i Sumeri 1 si diceva gesh che voleva dire anche uomo, 2 si diceva min che voleva dire anche donna, 3 era esh che era sinonimo di molti ed era suffisso del plurale. Anche qui scorgiamo la rete di rimandi simbolici che una situazione profana poteva generare: se 3 era semplicemente 2 e 1, l'uno maschile unito al due femminile dava origine alla molteplicità della prole. L'articolazione dei primi numeri era simbolicamente isomorfa alla copula e alla generazione. Tale modello lo ritroveremo nellUno e nella Diade Infinita dei Pitagorici e del Platone "esoterico". Nel lessico indoeuropeo 3 e "molti" sono quasi sinonimi: in francese "molto" è très; in latino e in inglese "3 volte" e "molte volte" sono spesso indicati con lo stesso segno; "al di là" è tres in antico francese, trans in latino, through in inglese; in inglese folla è throng; in italiano si dice "troppo" e si dice "truppa". Anche il 4 ha nelle sue radici lessicali lo stesso rimando alla molteplicità: in tedesco vier (4) e viel (molto) sono quasi omofoni; il greco tettares e il latino quattuor sono etimologicamente collegati al latino cetera, "le altre cose" (si pensi a 1, 2, 3... et cetera).
Segno di questa divisione tra i primi due-tre numeri e la cognizione degli altri (cetera...) è anche la presenza nelle lingue antiche di numeri in senso grammaticale quali il duale (greco, ebraico, arabo), mentre in tribù oceaniche c'è addirittura il duale, il triale, il quadruplice. In tale caso i sostantivi sono anche declinabili, ovviamente assieme al plurale. La mancanza di astrazione nell'approccio numerico alla realtà è esemplificata anche dal fatto che molte lingue primitive, quali ad es. la lingua tsimshian della Columbia Britannica, hanno parole differenti per indicare determinate quantità numeriche di oggetti piatti oppure di oggetti allungati o di uomini o di canoe etc.: 8 oggetti piatti = yuktalt, 8 oggetti allungati = ektlaedskan, 8 nel conteggio orale = guandalt. Anche nelle lingue europee c'è traccia di questa differenziazione: in inglese a pair (scarpe), a couple (persone), a brace (polli), a yoke (buoi). In italiano paio, pariglia, coppia...
In latino solo i numeri da 1 a 4 hanno genere e declinazione, mentre da 5 in poi no. Inoltre i Romani chiamavano i figli dal primo al quarto con nomi senza rapporto con i numerali; dal quinto in poi i nomi diventavano Quintus, Sextus, Septimius, Octavius ecc. Infine l'anno romano prima della riforma giuliana era di 10 mesi di cui il primo era Martius, poi Aprilis, Maius e Iunius; dal quinto mese in poi troviamo Quintilis, Sextilis, September, October ecc.
Questa difficoltà per l'uomo di andare oltre i primi numeri è per lo più ricondotta al fatto che questa soglia corrisponde a quella tra una percezione diretta della pluralità e la computazione estensionale della stessa. La percezione diretta della pluralità è la percezione di coppie, terne di entità identiche o similari ed è istintiva: anche il bambino tra i 6 e i 12 mesi ha una valutazione globale dello spazio, ha una percezione di insiemi di oggetti familiari e si accorge se eventualmente manchi qualcosa. Tra i 12 e i 18 mesi distingue tra 1, 2 e "parecchi" oggetti; tra i 2 e i 3 anni concepisce il 3.