L'orbita della Luna è studiata da quella che, in gergo anglosassone, viene definita Lunar Theory, la quale tenta di spiegare i moti del nostro satellite. Ci sono molte irregolarità (o perturbazioni) nel moto della Luna, e molti tentativi sono stati fatti fin dalla antichità per tenere conto di queste. Dopo secoli di forte problematicità, i moti lunari sono al giorno d'oggi modellati con un grado molto elevato di accuratezza. Diversi aspetti della Teoria della Luna sono diventati un classico della storia della scienza. Di recente si sono raggiunti livelli di accuratezza che hanno trasformato la Lunar Theory in uno strumento adeguato per nuovi test delle teorie fisiche. Si può osservare che:

il moto della Luna, dopo il lavoro dei coniugi francesi Michelle Chapront-Touzé e Jean Chapront, si può considerare noto con precisione la discussione di Hugh Godfray sottolinea il significato fisico delle perturbazioni (quale causa le produce e di quale entità sono) in parte, quei termini matematici sono la trasposizione algebrica dei vecchi epicicli geometrici il deferente dà il moto circolare, il primo epiciclo include la prima ineguaglianza (eccentricità), il secondo epiciclo include la seconda ineguaglianza (moto kepleriano) gli epicicli sono definiti sulla base dell'osservato, che aveva ai tempi molti limiti, e ne ha anche oggi, pertanto il modello può arrivare solo ad un certo punto predizione i termini algebrici, che nascono da sviluppi in serie completamente noti, possono predire perturbazioni aggiuntive, ancorché non ancora osservate; il limite è solo la capacità di calcolo Tycho e Keplero, con i dati a loro disposizione, hanno fatto "miracoli" di formalizzazione in ambito di meccanica celeste

La Lunar Theory include

il “background” della teoria generale; comprese le tecniche matematiche utilizzate per analizzare il movimento della Luna e per generare formule e algoritmi per la stima suoi movimenti; formule quantitative, algoritmi e schemi geometrici che possono essere utilizzati per calcolare la posizione della Luna ad un tempo determinato, spesso con l'aiuto di tabelle basate su algoritmi.

La teoria ha una storia di oltre 2000 anni di indagini. I suoi sviluppi più moderni sono stati utilizzati nel corso degli ultimi tre secoli per fondamentali scopi scientifici e tecnologici, e lo sono ancora oggi.

Applicazioni Nel XVIII secolo, il confronto tra la Lunar Theory e l'osservazione è stato utilizzato per testare la legge di Newton della gravitazione universale, il movimento dell'apogeo lunare. Nei secoli XVIII e XIX, le tabelle di navigazione basate sulla Lunar Theory, inizialmente nel Nautical Almanac, erano molto utilizzate per la determinazione della longitudine in mare con il metodo delle distanze lunari. Nei primi anni del secolo ventesimo, il confronto tra la Lunar Theory e l'osservazione è stato utilizzato in un altro test della teoria gravitazionale, per verificare il suggerimento di Simon Newcomb secondo cui una discrepanza nota nel moto del perielio di Mercurio avrebbe potuto essere spiegata da un aggiustamento minimo dell'esponente 2 nella legge dell'inverso del quadrato della gravitazione di Newton: la differenza fu poi spiegata con la teoria della relatività generale. Nella metà del ventesimo secolo, prima dello sviluppo degli orologi atomici, la Lunar Theory e l'osservazione sono state utilizzate congiuntamente per realizzare una base tempi astronomica (tempo delle effemeridi) libera dalle irregolarità del tempo solare medio. Nel tardo ventesimo secolo e all'inizio del ventunesimo, moderni sviluppi della Lunar Theory sono in uso, in abbinamento alle osservazioni di alta precisione, per verificare l'esattezza dei rapporti fisici associati con la teoria della relatività generale, compreso il principio forte di equivalenza, la gravitazione relativistica, la precessione geodetica, e la costanza della costante gravitazionale.

Definizioni e valori numerici Di seguito viene fornita una lista delle variabili che si incontreranno nel corso della esposizione delle singole perturbazioni della Luna. Ad esse viene assegnato dapprima un valore numerico approssimato (quello utilizzato popolarmente ai tempi del Godfray) e quindi una stima moderna migliore.

Alcune quantità che compaiono come argomento delle funzioni "seno", e che ne costituiscono la fase iniziale, sono semplicemente date come definizione verbale.

In ogni caso viene fornita per ogni perturbazione la possibilità di calcolo numerico completo, ad una data qualunque, con formulario ricavato dal libro del Meeus.

longitudine eclittica "vera" della Luna (funzione del tempo), misurata sull'eclittica

rapporto tra moto medio Sole e moto medio Luna; il valore preciso è

moto medio Luna

moto medio Sole

= tangente della inclinazione dell'orbita della Luna

longitudine del perigeo della Luna al tempo zero, misurata sul piano orbitale

= longitudine “vera” del perigeo della Luna (funzione del tempo), misurata sul piano orbitale

longitudine del Sole al tempo zero, misurata sull'eclittica

longitudine del nodo della Luna al tempo zero, misurata sull'eclittica

longitudine del perigeo del Sole al tempo zero, misurata sull'eclittica

eccentricità dell'orbita della Luna al tempo zero; il valore preciso vale

= velocità angolare degli apsidi della Luna

Longitudine della Luna La soluzione del problema costitutivo della Lunar Theory è oggi completata. Di seguito sarà fornito il dettaglio espresso con una precisione al secondo ordine di dettaglio. I vari termini sinusoidali sono formati da un coefficiente che ne indica l'ampiezza massima, e un argomento da cui è possibile ricavarne la periodicità. Dopo lunghissimi passaggi algebrici si può affermare che la longitudine, al secondo ordine, è data dalla seguente espressione:

Il contributo dei termini di questa espressione è discusso nel seguito:

Moto medio Trascurando tutti i termini periodici, rimane solo la componente lineare nel tempo:

ciò indica una velocità angolare uniforme: la Luna si muove uniformemente su un cerchio; il periodo di rivoluzione vale giorni, che è pertanto la espressione del mese siderale. Per la precisione, nell'anno 1801 il valore è stato 27 giorni 7 ore 43 minuti 11,26 secondi. Questa prima parte del termine è quella che nei tempi antichi era rappresentata dal cerchio definito "deferente".

Il valore di p è dato, al terzo ordine, da:

dove m è dovuto all'azione disturbante del Sole; si può osservare che il moto medio p ottenuto dalla terza legge di Keplero (e quindi la velocità angolare media) è minore a causa degli elementi perturbanti, pertanto il tempo periodico medio sarebbe maggiore in assenza delle perturbazioni.

Ineguaglianza Ellittica o Equazione del Centro Questa ineguaglianza tiene conto della velocità angolare non uniforme (in accordo con la seconda legge di Keplero) e della rotazione della linea degli apsidi; fenomeni entrambi noti già a Ipparco e rappresentati da lui e da Tolomeo con opportuni epicicli. Si osservi che Ipparco, il cui modello era puramente descrittivo, cioè non pretendeva di derivare i parametri numerici da una legge fisica, poteva raggiungere il livello di precisione desiderato semplicemente aggiustando opportunamente la discrepanza fra la velocità di rotazione sull'epiciclo e quella sul deferenteSe le due velocità angolari sono uguali ed opposte di segno si ottiene un'orbita ellittica senza alcuna rotazione della linea degli apsidi.. Dedurre, invece, dalle leggi di gravitazione il moto rilevato degli astronomi fu particolarmente difficile.

Per valutare l'ineguaglianza ellittica si aggiunge al moto medio l'azione combinata degli altri due termini della prima riga:

essa può essere riscritta:

si ricorda la similitudine formale tra la longitudine e il tempo lungo una ellisse con il corpo centrale in un fuoco, terminata alla precisione del secondo ordine:

dove è il moto medio, la eccentricità e la longitudine degli apsidi.

I termini considerati, pertanto, indicano il moto su una ellisse; il moto medio è p, la eccentricità e, la longitudine degli apsidi ; ciò indica in modo chiaro che la linea degli apsidi non è stazionaria, ma ha un moto progressivo uniforme pari a , dove vale la seguente relazione:

, approssimata al secondo ordine

se al posto di si mette l'espressione sopra citata, la velocità angolare diventa perciò, mentre la Luna descrive un giro, l'asse precede di circa, essendo m pari a circa .

Questo risultato è qualitativamente equivalente al modello del moto della Luna messo a punto dagli astronomi greci. Già Ipparco aveva trovato, e tutte le osservazioni moderne lo hanno confermato, che il moto degli apsidi è circa 3° per ciascuna rivoluzione della Luna. Dimensioni e velocità angolare su deferente ed epicicli erano determinate in modo da ottenere valori del moto lunare corrispondenti all'esperienza.

Il valore calcolato precedentemente, tuttavia, non corrisponde al dato osservativo. Newton stesso era consapevole di questa apparente discrepanza tra la sua teoria e le osservazioniIl moto degli Apsidi è stato considerato da Newton nei Principia, libro I, Proposizione 66, Corollario 7.; ma si è condotti dalle sue stesse parole (Scolio alla Proposizione 35, libro III nella prima edizione dei Principia), a concludere che egli avesse superato l'ostacolo. Ciò è reso probabile dal fatto che egli risolse un simile problema nel caso del moto dell'asse dei nodi; egli, tuttavia, non ha fornito alcun calcolo o alcuna spiegazione a supporto della sua affermazione.

Clairaut, che nel 1750 trovò la causa della discrepanza e ne pubblicò la soluzione, giunse inizialmente alla conclusione che ci fosse un piccolo errore nella legge di gravitazione e fu sul punto di pubblicare una nuova ipotesi. Fortunatamente decise di procedere all'approssimazione di terzo ordine e così trovò che il termine successivo nello sviluppo di c era quasi altrettanto grande di quello già trovato. In altre parole l'espressione utilizzata sopra deve essere sostituita col seguente valore di c approssimato al terzo ordine:

° valore che riconcilia teoria ed osservazione e che rimuove ciò che è stato vissuto come un immenso inciampo nella storia della astronomia. Quando il valore di è approssimato ad ordini ancora superiori, viene raggiunta una corrispondenza ancora migliore.

Calcolo numerico approssimato Allo scopo di calcolare accuratamente la posizione della Luna in un dato istante, è necessario prendere in considerazione migliaia di termini periodici nel calcolo della relativa longitudine, latitudine e distanza. Ci si fermerà qui a trattare solo quelli evidenziati dalla presente trattazione semplificata. Per avere i dati completi è necessario consultare le Lunar Tables and Programs di Chapront.

Si presuppone noto il concetto di Giorno Giuliano delle Effemeridi JDE, da cui si ricava il parametro ausiliario , fornito dalla presente formula

È necessario dapprima calcolare alcuni coefficienti, alla data richiesta, da inserire come argomento nella funzione trigonometrica che rappresenta la perturbazione in oggetto

Elongazione media della Luna (angolo rispetto alla direzione del Sole, misurato sull'eclittica)

Anomalia media del Sole (angolo rispetto al perigeo, misurato sull'eclittica)

Anomalia media della Luna (angolo rispetto al perigeo, misurato sull'orbita)

Argomento della latitudine della Luna (angolo rispetto al nodo ascendente, misurato sull'orbita)

Ineguaglianza ellittica od equazione del centro

In modo numerico essa è data dalla seguente espressione, dove il coefficiente del seno è espresso in milionesimi di grado angolare

L'espressione raggiunge il suo massimo nella seguente configurazione:

Si tratta in buona sostanza di un'ampia sinusoide di ampiezza 6,29 ricamata con una piccola sinusoide di ampiezza 0,21. Esse hanno frequenze diverse e la funzione complessiva raggiunge il suo massimo quando l'argomento M' vale circa 86,2°.

.

Evezione