In matematica, linsieme limite di una successione consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:
dove è la chiusura di .
Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita di un sistema dinamico per un punto iniziale è l'insieme dei punti tali per cui esiste una successione di istanti temporali tale che per .
Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.
Sistemi dinamici discreti
Sia uno spazio metrico e sia una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. Linsieme -limite di un punto , indicato con , è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione formata dalle orbite passanti per :
In altri termini, se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali tale che con .
Se è un omeomorfismo si può definire in modo simile linsieme -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:
Entrambi gli insiemi sono -invarianti e se è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.
Sistemi dinamici continui Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:
sia la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale , con la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto è detto punto -limite della soluzione (punto -limite dell'orbita ) se esiste una successione di istanti temporali tali che:
L'insieme -limite di è l'insieme di tutti i punti -limite di (di ).
L'insieme -limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti -limite della traiettoria , cioè i punti tali che per e .
Note
Bibliografia
A. Beck, Continuous flows in the plane , Springer (1974) C. Gutierrez, Smoothing continuous flows on two-manifolds and recurrences Ergodic Theory and Dynam. Syst. , 6 (1986) pp. 17–44 O. Hajek, Dynamical systems in the plane , Acad. Press (1968)
Voci correlate Ciclo limite Insieme di Julia Orbita (matematica) Sistema dinamico Varietà invariante Varietà stabile
Collegamenti esterni
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