In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.
Enunciato del lemma
Siano e due successioni, e sia
la somma parziale -esima di , e si ponga . Vale allora l'eguaglianza.:
.
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti :
,
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:
.
Dimostrazione
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo , e l'altra in .
Per la definizione di , si ha:
,
cioè la tesi, Q.E.D.
Teoremi derivati Criterio di Dirichlet per le serie
Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie..
Criterio di Leibniz per le serie
Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
Note
Bibliografia
Voci correlate Integrazione per parti Serie convergente
Collegamenti esterni
Categoria:Serie matematiche Categoria:Lemmi