Il pi greco () è una costante matematica, conosciuta anche come costante di Archimede (da non confondere con il numero di Archimede) e costante di Ludolph o numero di Ludolph; è indicata con la lettera greca π (pi), scelta in quanto iniziale di (perifereia), circonferenza in greco.
Il non è una costante fisica o naturale, ma una costante matematica definita in modo astratto, indipendente da misure di carattere fisico. Nella geometria piana il viene definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti testi di analisi matematica moderni definiscono il usando le funzioni trigonometriche, ad esempio come il più piccolo numero strettamente positivo per cui oppure il più piccolo numero che diviso per annulla ; tutte queste definizioni sono equivalenti.
Storia I popoli antichi spesso utilizzavano modi indiretti per esprimere approssimativamente il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. I babilonesi usavano per il valore di =3,125 (usato anche da VitruvioDe Architectura X, 9, 1, in linea su LacusCurtius.): una tavoletta cuneiforme del XX secolo a.C., infatti, osserva che il rapporto fra la circonferenza e il perimetro di un esagono iscritto è , cioè . Nel Papiro di Rhind, invece, si dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli Egizi assumevano il valore di ()²=3,160.
Nell'Antico Testamento viene apparentemente affermato in modo non esplicito che . Si trova infatti scritto:
Il testo, però spiega poco dopo che il bordo si apriva "come il calice di un giglio" (presentava cioè quello che un moderno ingegnere chiamerebbe un "anello di irrigidimento" del bordo superiore), perciò il diametro misurato al bordo era ovviamente maggiore di quello della circonferenza esterna della vasca cilindrica, rendendo inaccurati questi dati per desumere un valore di pi greco "biblico".Questa spiegazione era nota anche al Talmud ed è riportata insieme a molte altre in Do Scripture and Mathematics Agree on the Number π? (p. 139). Cfr. anche: The political values of Solomon's wrong Pi oppure The political values of Solomon's wrong Pi. Altre spiegazioni sono meno attendibili perché i manoscritti più antichi della Bibbia ebraica risalgono circa al secolo X dopo Cristo.
Il primo ad approssimare scientificamente pi greco fu Archimede di Siracusa che nel III secolo a.C. utilizzò poligoni regolari inscritti e circoscritti a una circonferenza. Aumentando il numero di lati il rapporto tra il perimetro e l'area limita superiormente e inferiormente (vedi anche metodo di esaustione).
Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato siracusano scoprì che < π < .Boyer 1991 p. 149.
Nel medioevo in India Brahmagupta utilizza il valore Boyer 1991 p. 256. mentre in Cina Zu Chongzhi utilizza valore che si discosta meno di 0,3 milionesimi dal valore corretto.
Il metodo di Archimede verrà applicato fino all'epoca moderna. Nel 1610 Ludolph van Ceulen calcola le prime 35 cifre decimali di utilizzando poligoni con più di 2 miliardi di lati. Ceulen, fiero di questo risultato, lo farà scrivere sulla sua tomba.
Sempre nell'epoca moderna vengono trovate importanti espressioni infinite:
formula di Viète:
formula di Leibniz:
prodotto di Wallis:
Nel XVIII secolo Eulero, risolvendo il problema di Basilea, trovò un'altra elegante serie:
Sempre al matematico svizzero è dovuta l'identità di Eulero, talvolta considerata la formula matematica più bella che esistaDefinita la più bella formula della matematica da Richard Feynman (). Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer la votarono come "La più bella formula matematica di sempre" in quanto collega tra loro le più importanti costanti matematiche: , il numero di Nepero , l'unità immaginaria , lo 0 e l'1.
Queste formule, pur essendo di scarsa o nulla utilità nel calcolo della costante matematica, hanno un importante valore estetico e rivelano collegamenti inaspettati tra varie branche della matematica.
Eulero rese inoltre popolare il simbolo π, introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco. Inoltre il simbolo venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 Eulero usava il simbolo .
Restava ancora in sospeso la questione della natura di : Johann Heinrich Lambert dimostrò nel 1761 che si trattava di un numero irrazionale (si dimostrava che l'arcotangente di un qualsiasi numero razionale è irrazionale); si veda la dimostrazione della irrazionalità di π. Adrien-Marie Legendre dimostrò nel 1794 l'irrazionalità di . Bisognerà tuttavia aspettare fino al 1882 per la dimostrazione, ad opera di Ferdinand von Lindemann, che è un numero trascendente, ossia non può essere la radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
Quest'ultimo fatto dimostrava inequivocabilmente che la quadratura del cerchio tramite riga e compasso è impossibile.
La legge dell'Indiana sulla quadratura del cerchio
Nel 1897, negli Stati Uniti d'America, fu presentato all'Assemblea generale dello stato dell'Indiana un disegno di legge volto a rendere possibile la quadratura del cerchio tramite il cambiamento del valore di pi greco, redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin, in cui l'autore si presentava come solutore dei problemi di trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio (la cui impossibilità di soluzione era, all'epoca, già ampiamente dimostrata) e offriva alle scuole dello stato l'uso gratuito della sua "nuova verità matematica", da lui brevettata.
Il testo non menzionava specificamente , ma dalle affermazioni in esso presenti potevano esserne dedotti diversi valori, tra loro contraddittori, tra cui quello di 3,2.
Il progetto superò varie fasi dell'iter legislativo (fu approvata all'unanimità dai 67 membri della Commissione per l'educazione), ma fu infine abbandonato quando venne presentato al Senato per la definitiva approvazione; il professor Clarence Abiathar Waldo, matematico e membro dell'Accademia delle scienze dell'Indiana, riportò in seguito di essere stato casualmente presente al Senato il giorno in cui il progetto di legge doveva essere discusso, e di aver "opportunamente istruito" al riguardo i senatori prima della discussione.
Cronologia Ecco una breve cronologia essenziale della determinazione del valore di :
Nell'antichità XX secolo a.C.: i Babilonesi usano per (uguale a 3,125). XVII secolo a.C.: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano π = ()2 = 3,1605. XII secolo a.C.: i Cinesi usano 3 per . 434 a.C.: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso. 430 a.C.: Antifonte il sofista e Brisone di Eraclea esprimono il principio di esaustione. 335 a.C.: Dinostrato usa la quadratrice per quadrare il cerchio. III secolo a.C.: Archimede, utilizzando l'esaustione e il metodo di compressione, calcola su poligoni di 96 lati che < π < e trova inoltre l'approssimazione π = = 3,14163… I secolo a.C.: Vitruvio usa . II secolo d.C.: Tolomeo usa π = = 3,14166…La frazione approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.. III secolo d.C.: Chang Hong usa , Wang Fau usa π = e Liu Hui usa π = .
Nel Medioevo V secolo (450 circa): Zu Chongzhi scopre che 3,1415926 < π < 3,1415927 e utilizza il valore = 3,1415929…. VI secolo (530 circa): Aryabhata, in India, utilizza il valore =3,1416. VII secolo (650 circa): Brahmagupta, in India, utilizza il valore . IX secolo: al Khwarizmi usa 3,1416. 1220: Leonardo Fibonacci usa il valore 3,141818. 1430: al Kashi calcola le prime 14 cifre di .
Nell'età moderna 1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di . 1593: François Viète calcola 9 cifre di e Adriaan van Roomen 16 cifre. 1596: Ludolph van Ceulen calcola 20 cifre di . 1610: van Ceulen, 35 cifre. 1621: Willebrord Snell perfeziona il metodo di Archimede. 1654: Christiaan Huygens dimostra la validità del perfezionamento di Snell. 1655: John Wallis trova un prodotto infinito razionale per ; William Brouncker lo converte in una frazione continua. 1663: Muramatsu Shigekiyo in Giappone trova 7 cifre decimali esatte. 1665: Isaac Newton scopre il calcolo infinitesimale e calcola il fino alla 16ª cifra decimale. 1671: James Gregory scopre le serie delle arcotangenti. 1674: Leibniz scopre la serie delle arcotangenti per . 1699: Abraham Sharp, 72 cifre. 1700: Kōwa Seki in Giappone calcola 10 cifre. 1706: John Machin, 100 cifre. 1713: La Corte Cinese pubblica il Su-li Ching-yun e presenta le prime 19 cifre decimali di . 1719: Thomas Fantet de Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette. 1723: Takebe Kenko in Giappone calcola 41 cifre. 1730: Kamata in Giappone calcola 25 cifre. 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo si diffonde. 1739: Matsunaga, 50 cifre. 1748: Eulero pubblica l'Introductio in analysis infinitorium contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte serie per e . 1761: Johann Heinrich Lambert prova che è un numero irrazionale. 1775: Eulero deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che possa essere trascendente.
Nell'età contemporanea (dati aggiornati al Novembre 2025) 1794 – Jurij Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette. 1794 – Adrien-Marie Legendre dimostra che (e quindi ) è irrazionale e considera la possibilità che sia trascendente. 1841 – William Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette. 1844 – Zacharias Dase calcola 200 cifre. 1847 – Thomas Clausen, 248 cifre. 1853 – Lehmann, 261 cifre. 1853 – William Rutherford, 440 cifre. 1855 – Richter, 500 cifre. 1874 – William Shanks, 707 cifre, ma solo 527 sono corrette. 1874 – Tseng Chi-hung calcola in Cina 100 cifre. 1882 – Ferdinand von Lindemann dimostra che è trascendente. 1947 - D. F. Ferguson: 620 cifre decimali, utilizzando una calcolatrice da tavolo. gennaio 1947 - D. F. Ferguson: 710 cifre decimali (calcolatrice da tavolo). settembre 1947 – D. F. Ferguson: 808 cifre decimali (calcolatrice da tavolo). 1949 – George Rietwiesner, John von Neumann e Nicholas Constantine Metropolis: 2037 cifre calcolate in 70 ore utilizzando l'ENIAC. Da questo momento in poi tutti i calcoli delle cifre di pi greco verranno effettuati utilizzando calcolatori elettronici. 1954 – La marina statunitense calcolò 3089 cifre in 13 minuti alla presentazione del NORC, il supercomputer commissionato alla IBM. 1958 – "Paris Data Processing Center": cifre calcolate in un'ora e 40 minuti utilizzando un IBM 704. 1961 – John Wrench e Daniel Shanks (nessuna parentela con William Shanks): cifre in 8 ore e 43 minuti, con un IBM 7090. 1966 – "Paris Data Processing Center": cifre di pi greco con un IBM 7030 Stretch. 1967 – "Paris Data Processing Center": cifre con un computer CDC 6600. 1973 – Jean Guilloud e M. Bouyer: cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti con il computer CDC 7600. 1976 – Eugene Salamin e Richard Brent svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del , algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di Carl Friedrich Gauss. 1982 – Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada: cifre in meno di 30 ore con l'algoritmo di Gauss-Brent-Salamin, con un Hitachi M-280H. 1988 – Yasumasa Kanada: cifre calcolate in 6 ore utilizzando un Hitachi S-820.