Il teorema di Paley-Wiener, noto anche come criterio di Paley-Wiener, è una relazione matematica che consente di determinare se un sistema lineare tempo invariante è causale o meno. Il teorema consente solo di stabilire la causalità e non dà indicazioni su come rendere causale un sistema che non lo è.

Prende il nome da due matematici, il britannico Raymond E. A. C. Paley (1907 - 1933) e l'americano Norbert Wiener (1894 - 1964) che lo enunciarono nell'ambito delle loro ricerche sulla trasformazione di Fourier per le funzioni analiticheR. E. A. C. Paley, N. Wiener, Fourier transforms in the complex domain, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 19, Amer. Math. Soc , Providence, R. I., 1934; teorema XII. Il libro fu pubblicato a cura di Wiener dopo che Paley era scomparso in un incidente di sci; successivamente ne emerse il significato applicativo ai fini dello studio dei circuiti elettrici.W. L. Root, Contributions of Norbert Wiener to communication theory, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 126-134

L'applicabilità del teorema di Paley-Wiener richiede come condizione necessaria che

ovvero che la risposta in frequenza del sistema sia quadrato integrabile o assolutamente sommabile.

Se tale condizione è verificata, la condizione necessaria ma non sufficiente per l'applicabilità del teorema di Paley-Wiener è che

In questo caso

è possibile, sotto la verifica delle ipotesi, trovare una per cui il filtro sia causale.

Un tipico campo di applicazione del criterio riguarda i filtri reali. I filtri ideali infatti non sono causali e non possono essere resi tali in quanto la loro risposta in frequenza è nulla su intervalli frequenziali di misura non nulla: questo implica la divergenza del secondo integrale e quindi non sarebbe verificata la condizione necessaria del teorema. Esempi elementari di filtri reali del secondo ordine, del tipo R-C e C-R sono invece causali, perché le loro risposte impulsive rispettano le condizioni del teorema.

Note

Bibliografia

Teoria dei segnali (M. Luise - G. Vitetta) - 3ª edizione Mc Graw - Hill

Categoria:Teoria dei sistemi dinamici