In teoria delle code, una coda M/M/1 rappresenta la lunghezza di una coda in un sistema composto da un singolo server, in cui gli arrivi sono determinati da un processo di Poisson e i tempi servizio hanno distribuzione esponenziale. Il nome è dovuto alla Notazione di Kendall.
Definizione Una coda M/M/1 è un processo stocastico a valori nei numeri naturali, dove il valore ad un tempo fissato corrisponde al numero di utenti nel sistema, inclusi quelli che stanno ricevendo il servizio. Gli arrivi sono determinati da un processo di Poisson di intensità λ, e spostano il processo da uno stato i a quello successivo i+1 I tempi di servizio hanno distribuzione esponenziale di parametro μ Il server non può essere occupato da più utenti nello stesso momento. Quando il servizio finisce, l'utente lascia la coda e il processo si sposta dallo stato i al precedente i-1 Non c'è nessun limite al numero di utenti che può contenere il sistema.
Il processo può essere descritto come una catena di Markov a tempo continuo, in particolare da un processo di nascita e morte con generatore
Proprietà Il processo è stabile solo se . Se in media vi sono più arrivi di quanti il sistema può servirne, la coda crescerà indefinitivamente e non ci sarà equilibrio. Se chiamiamo , la condizione diventa . Imponendo questa condizione, si ha che La distribuzione stazionaria del processo è geometrica di parametro
La probabilità di avere o più utenti nel processo è data da Il numero medio di utenti nel sistema è
Il tempo medio passato da un utente nel sistema è ottenibile utilizzando la legge di Little:
Il numero medio di utenti in coda è
Il tempo medio passato da un utente in coda è
Bibliografia
Voci correlate Processo di nascita e morte Processo markoviano Legge di Little Coda M/M/c
Categoria:Teorie di rete Categoria:Processi stocastici