In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito. Grazie ad esso è possibile dimostrare che è una base per lo spazio di Hilbert .
Il teorema Sia una funzione misurabile. Se è sommabile allora:
La trasformata di Fourier di tende quindi a per valori infiniti di .
Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.
Se è in e definita in , allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace :
per all'interno del semipiano .
Se è in e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di tendono a per . Questo fatto si ottiene estendendo alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.
Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se , allora:
dove è la trasformata di Fourier:
Dimostrazione Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:
Se è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in da una funzione liscia a supporto compatto tale che . Si ha allora:
e dal momento che questo vale per ogni segue la tesi.
Nel caso in cui , si supponga che sia a supporto compatto su e che sia differenziabile con continuità. Dette e le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di e , per le proprietà della trasformata si ha , da cui per . Poiché la funzione in tale forma è densa in , ciò vale per ogni scelta di .
Bibliografia
p. 1101, 2000.
Voci correlate Funzione a supporto compatto Funzione liscia Funzione misurabile Trasformata di Fourier Trasformata di Laplace
Collegamenti esterni Weisstein, Eric W. Riemann-Lebesgue Lemma. From MathWorld
Riemann–Lebesgue Categoria:Analisi di Fourier