In teoria delle code, una coda M/M/c rappresenta la lunghezza di una coda in un sistema composto da c server, in cui gli arrivi sono determinati da un processo di Poisson e i tempi servizio hanno distribuzione esponenziale di parametro μ. Il nome è dovuto alla Notazione di Kendall. La coda M/M/1 è un suo caso particolare.
Definizione Un coda M/M/c è un processo stocastico definito sui numeri naturali, dove il valore ad un tempo fissato corrisponde al numero di utenti nel sistema, inclusi quelli che stanno ricevendo il servizio. Gli arrivi sono determinati da un processo di Poisson di intensità λ, e spostano il processo da uno stato i a quello successivo i+1 I tempi di servizio hanno tutti distribuzione esponenziale di parametro μ I server non possono essere occupati da più utenti nello stesso momento. Quando il servizio finisce, l'utente lascia la coda e il processo si sposta dallo stato i al precedente i-1 Non ci possono essere server fermi se sono presenti utenti in coda Non c'è nessun limite al numero di utenti che può contenere il sistema.
Il processo può essere descritto come una catena di Markov a tempo continuo, in particolare da un processo di nascita e morte di parametri:
Proprietà Il processo è stabile solo se λ<cμ. Se in media vi sono più arrivi di quanti il sistema può servirne, la coda crescerà indefinitivamente e non ci sarà equilibrio. Se chiamiamo ρ=λ/cμ, la condizione diventa ρ<1. Imponendo questa condizione, si ha che La distribuzione stazionaria del processo è data da
La probabilità di non trovare nessun server libero è data da
Il numero medio di utenti nel sistema è
Il numero medio di utenti in coda è
Il tempo medio passato da un utente in coda è
Il tempo medio passato da un utente nel sistema è
Infiniti server È possibile anche studiare il caso a infiniti server, ovvero la coda M/M/∞. In questo modello ogni utente viene servito appena entra nel sistema, e non vi è quindi alcuna coda. In questo caso il processo di nascita e morte adatto è quello con parametri
La distribuzione stazionaria è una distribuzione di Poisson di parametro λ/μ:
Il tempo medio passato nella coda è solamente il tempo medio di servizio:
Il numero medio di utenti nel sistema è
Bibliografia
Voci correlate Processo di nascita e morte Processo markoviano Legge di Little
Categoria:Teorie di rete Categoria:Processi stocastici