In matematica, le equazioni di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Wilhelm Bessel, sono un caso particolare dell'equazione ipergeometrica confluente, le cui soluzioni definiscono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel.
Definizione Si tratta di equazioni differenziali ordinarie del second'ordine lineari omogenee della forma:
dove si è utilizzata la notazione di Lagrange per le derivate totali per l'incognita . Il numero è detto l'ordine dell'equazione, mentre e assumono valori in .
Esplicitando le derivate e dividendo per :
che si può scrivere anche come:
Le soluzioni generali sono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel, e si suddividono in funzioni di Bessel del primo tipo (chiamate esse stesse "armoniche cilindriche" e indicate con ) e funzioni di Bessel del secondo tipo (dette funzioni di Neumann o funzioni di Weber e indicate con ). Un terzo tipo di soluzione, le funzioni di Bessel del terzo tipo o funzioni di Hankel e , sono una particolare combinazione lineare delle precedenti.
Se non è intero una soluzione generale è data da:
con e costanti arbitrarie.
Per un ordine generico la soluzione può invece essere data nelle seguenti forme:
Per un dato ordine le funzioni , , e sono infatti mutuamente linearmente indipendenti.
Forma ridotta Sostituendo si ottiene la forma ridotta della prima equazione di Bessel:
Sostituendo in tale forma ridotta si giunge all'equazione di Whittaker.
Bibliografia Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitoli 9, 10,11)
William Ellwood ByerlyAn elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & Co., Boston, 1893) (capitolo 7) Andrew Gray e George Ballard Matthews A treatise on Bessel functions and their applications to physics ( Macmillan and co.,New York, 1895) George Neville Watson A treatise on the theory of Bessel Functions (Cambridge University Press, 1922)
Voci correlate Armoniche cilindriche Equazione di Legendre Equazione differenziale lineare del secondo ordine Equazione ipergeometrica confluente Funzione di Whittaker
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Bessel