In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.
Il teorema Siano , , e funzioni continue a valori reali definite nell'intervallo , e siano:
due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con:
Sia una soluzione non-banale della prima equazione avente due radici successive in e . Sia, inoltre, una soluzione non-banale della seconda. Allora vale una delle seguenti proprietà: Esiste tale che Esiste tale che .
La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910), la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.
Note
Bibliografia Diaz, J. B.; McLaughlin, Joyce R. Sturm comparison theorems for ordinary and partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 pdf Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
Voci correlate Identità di Picone Teorema di separazione di Sturm
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Categoria:Equazioni differenziali ordinarie confronto di Sturm-Picone