In matematica, le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni.
Sono spesso definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo e, equivalentemente, possono essere definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal cerchio unitario. Definizioni più moderne li esprimono come serie infinite o come soluzioni di certe equazioni differenziali, ottenendo la loro estensione a valori positivi o negativi e anche ai numeri complessi. Tutti questi differenti approcci sono presentati di seguito.
Lo studio delle funzioni trigonometriche risale ai tempi dei babilonesi, e una quantità considerevole del lavoro fondamentale fu svolto dai matematici greci, indiani e persiani.
Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche di base, che sono elencate sotto insieme alle identità che le mettono in relazione. Specialmente per le ultime quattro, queste relazioni sono spesso prese come definizioni di quelle funzioni, sebbene sia ugualmente possibile definirle geometricamente o per altre vie, e solo in seguito derivare queste relazioni. Poche altre funzioni erano comuni in passato (e figuravano nelle vecchie tabelle) ma sono oggi poco usate, come il senoverso () e l'exsecante (). Molte altre relazioni notevoli fra queste funzioni sono elencate nella voce sulle identità trigonometriche.
Funzione Abbreviazione Relazione Seno sin (o sen) Coseno cos Tangente tan (o tg) Cotangente cot (o ctg) Secante sec Cosecante csc (o cosec)
Storia
Il più antico riferimento alla funzione seno risale a Sulba Sutras, scritto nell'antica India dall'VIII al VI secolo a.C. Più tardi, le funzioni trigonometriche furono studiate da Ipparco di Nicea (180-125 a.C.), Aryabhata (476 – 550), Varāhamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontano (1464), Ghiyath al-Kashi (XIV secolo), Ulugh Beg (XIV secolo), Madhava (1400 circa), Retico, il suo discepolo Valentin Otho. All'Introductio in analysin infinitorum (1748) di Leonardo Eulero si riconosce il merito di aver stabilito la trattazione analitica delle funzioni trigonometriche in Europa, definendole come serie infinite e presentando la "formula di Eulero".
La nozione secondo cui deve esserci una corrispondenza fra le lunghezze dei lati di un triangolo e gli angoli del triangolo sorge non appena si intuisce che i triangoli simili mantengono gli stessi rapporti fra i lati corrispondenti. In altri termini, per qualsiasi triangolo simile il rapporto fra l'ipotenusa (per esempio) e un altro dei lati rimane lo stesso. Se l'ipotenusa è il doppio, anche i lati sono lunghi il doppio. Le funzioni trigonometriche esprimono proprio questi rapporti.
Definizioni tramite triangoli rettangoli
Al fine di definire le funzioni trigonometriche di un angolo si consideri un arbitrario triangolo rettangolo che contiene l'angolo :
Usiamo i seguenti nomi per i lati del triangolo: Lipotenusa è il lato opposto all'angolo retto, o, equivalentemente, il lato più lungo di un triangolo rettangolo, in questo caso Il lato opposto è il lato opposto all'angolo che prendiamo in considerazione, in questo caso Il lato adiacente è il lato in contatto con l'angolo che prendiamo in considerazione e con l'angolo retto. In questo caso il lato adiacente è
Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo in modo che la somma degli angoli interni è radianti (o 180°); di conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non retti sono compresi fra 0 e radianti. A rigore, le definizioni che seguono consentono di definire le funzioni trigonometriche solo per gli angoli in questo intervallo. Si può tuttavia estendere le definizioni all'insieme dei numeri reali utilizzando la circonferenza unitaria, o imponendo che tali funzioni posseggano certe simmetrie o siano periodiche.
1) Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso
È importante notare che questo rapporto non dipende dal particolare triangolo rettangolo scelto, purché contenga l'angolo dal momento che tutti questi triangoli sono simili.
L'insieme degli zeri del seno è
2) Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri del coseno è
3) La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri della tangente è
Esso coincide con l'insieme degli zeri del seno poiché
Le funzioni rimanenti sono definite convenientemente utilizzando le tre definizioni già fornite.
4) La cosecante è l'inverso moltiplicativo di ossia il rapporto fra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del lato opposto:
5) La secante è l'inverso moltiplicativo di ossia il rapporto fra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del lato adiacente:
6) La cotangente è l'inverso moltiplicativo di ossia il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e quella del lato opposto:
Definizioni nella circonferenza goniometrica
È possibile definire le sei funzioni trigonometriche a partire dalla circonferenza unitaria o circonferenza goniometrica, centrata nell'origine e con il raggio uguale a 1. La definizione attraverso la circonferenza goniometrica non aiuta nel calcolo pratico dei valori delle funzioni; infatti essa si basa sui triangoli rettangoli per molti angoli. Essa consente, tuttavia, la definizione delle funzioni trigonometriche per tutti gli argomenti reali, positivi e negativi, non solo quelli limitati all'intervallo fra 0 e Essa consente inoltre di visualizzare graficamente in una sola figura tutte le funzioni trigonometriche. L'equazione della circonferenza goniometrica è:
Nell'immagine sono indicati alcuni angoli comuni, misurati in radianti. Le misure in verso antiorario sono angoli positivi, quelli in verso orario sono negativi. Consideriamo l'intersezione con la circonferenza goniometrica di una retta che forma un angolo con la metà positiva dell'asse L'ascissa e l'ordinata di questo punto sono uguali rispettivamente a e Il triangolo nel disegno dimostra l'equivalenza con la definizione precedente: il raggio della circonferenza è l'ipotenusa del triangolo ed ha una lunghezza uguale a 1, pertanto e Si può pensare alla circonferenza goniometrica come ad un modo per considerare un numero infinito di triangoli rettangoli in cui varia la lunghezza dei cateti, mentre l'ipotenusa si mantiene uguale a 1.
Per angoli maggiori di o minori di si può semplicemente immaginare di compiere più giri intorno al cerchio. In questo modo, il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo
per ogni angolo e ogni intero
Il più piccolo periodo positivo di una funzione periodica è detto periodo primitivo della funzione. Il periodo primitivo del seno, del coseno, della secante e della cosecante è l'intera circonferenza, ossia radianti o 360 gradi; il periodo primitivo della tangente e della cotangente è solo metà circonferenza, ossia radianti o 180 gradi. Sopra sono state definite sulla circonferenza unitaria soltanto le funzioni seno e coseno, ma le altre quattro funzioni trigonometriche possono essere definite da:
L'immagine sulla destra mostra il grafico sul piano cartesiano della funzione considerevolmente diverso da quelli visti prima per il seno e il coseno. I punti di intersezione con l'asse coincidono corrispondenti di mentre la funzione non è definita in corrispondenza delle intersezioni della funzione con l'asse I valori della funzione cambiano lentamente in prossimità di angoli di ampiezza mentre cambiano rapidamente per gli angoli in prossimità di Il grafico della tangente ha anche un asintoto verticale per : infatti la funzione tende a se l'angolo tende a da sinistra e se tende a da destra.
In alternativa, è possibile definire tutte le funzioni trigonometriche di base a partire dalla circonferenza goniometrica (mostrata a destra); tali definizioni venivano usate storicamente. In particolare, data una corda della circonferenza, dove è la metà dell'angolo sotteso, è (metà della lunghezza della corda), ossia il cateto del triangolo rettangolo avente la corda come ipotenusa e un cateto giacente sul raggio, una definizione introdotta in India (vedi sopra). è la distanza orizzontale ossia l'altro cateto, e versin(θ) = 1 − cos(θ) è ossia la distanza tra il coseno e il punto della circonferenza che tocca il raggio su cui giace. è la lunghezza del segmento sulla retta tangente per da cui il nome tangente, data dall'incrocio di questa con il prolungamento del raggio. è un altro segmento tangente, ossia il prolungamento della tangente che incontra quello del raggio perpendicolare a quello su cui giace il coseno. e sono segmenti di rette secanti (che intersecano la circonferenza in due punti), ossia la somma di seno, cosenoverso e secante esterna aglitale . è chiamata exsec(θ) = sec(θ) − 1 (la porzione della secante fuori che interseca la cotangente dal cerchio). Da queste costruzioni, è facile vedere che le funzioni secante e tangente divergono se tende a (90 gradi) e che la cosecante e la cotangente divergono se tende a zero. È possibile effettuare molte costruzioni simili, e le identità trigonometriche di base si possono dimostrare graficamente.
Definizioni tramite sviluppo in serie
Utilizzando solo le nozioni di geometria e le proprietà dei limiti, si può dimostrare che la derivata del seno è il coseno e la derivata del coseno è l'opposto del seno. Qui, e in genere nel calcolo infinitesimale, tutti gli angoli sono misurati in radianti; vedi anche l'importanza dei radianti sotto. Si può usare la teoria delle serie di Taylor per dimostrare che le seguenti identità sono valide per ogni numero reale :
Queste identità sono spesso prese come definizioni delle funzioni seno e coseno. Esse sono spesso usate come punto di partenza per una trattazione rigorosa delle funzioni trigonometriche e delle loro applicazioni, dal momento che la teoria delle serie infinite può essere sviluppata a partire dai fondamenti del sistema dei numeri reali, prescindendo da ogni considerazione geometrica. La derivabilità e la continuità di queste funzioni sono quindi ottenute a partire dalla sola definizione in serie di potenze.
Si possono ottenere altri sviluppi in serie:Abramowitz; Weisstein.
dove è il numero di permutazioni alternate, ossia permutazioni di tali che il primo elemento sia minore del secondo, il secondo sia maggiore del terzo, il terzo sia minore del quarto, e così via. è l'-esimo numero di Bernoulli, e (sotto) è l'-esimo numero di Eulero.
Il coefficiente a numeratore ha una interpretazione combinatoria: esso indica il numero di permutazioni alternate di insiemi finiti di cardinalità dispari.
Il coefficiente a numeratore può essere interpretato, dal punto di vista combinatorio, come il numero di permutazioni alternate di insiemi finiti di cardinalità pari.
Per un teorema dell'analisi complessa, vi è un'unica estensione analitica di questa funzione ai numeri complessi. Le funzioni trigonometriche sono definite sui numeri complessi usando le serie di Taylor viste sopra.
Relazione con la funzione esponenziale e i numeri complessi Si può dimostrare, dalle definizioni in serie, che le funzioni seno e coseno sono rispettivamente la parte immaginaria e quella reale della funzione esponenziale complessa quando il suo argomento è un numero immaginario: