In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.
La formula per l'-simo numero stella octangulare è:
.
I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444.
Proprietà matematiche L'-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'-esimo numero ottaedrico e di 8 volte l'-esimo numero tetraedrico.
Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1º e il 169º dei numeri di questa forma. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,
può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass
sostituendo con e con . Dato che e , i due fattori di , sono primi tra loro, devono essere anch'essi quadrati.
Ora, ponendo e , si ha
Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren. Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici..
Note
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