Specialista nella carabina militare, Østmo partecipò alle Olimpiadi di , riuscendo ad ottenere ben 4 medaglie: due d'argento e due di bronzo.
Partecipò inoltre ai campionati mondiali dove ottenne ben otto medaglie: un oro, quattro argenti e tre bronzi. Le otto medaglie mondiali furono vinte nei campionati mondiali di Lione 1897 e Parigi 1900.
Palmarès Giochi olimpici 4 medaglie: 2 argenti (carabina militare, in piedi e carabina militare a squadre a ). 2 bronzi (carabina militare, proni e carabina militare, 3 posizioni a ).
Campionati mondiali 8 medaglie: 1 oro (carabina 300 metri in piedi a Lione 1897). 4 argenti (carabina 300 metri 3 posizioni, carabina 300 metri 3 posizioni a squadre a Lione 1897; carabina 300 metri in piedi, carabina 300 metri 3 posizioni a squadre a Parigi 1900). 3 bronzi (carabina 300 metri proni a Lione 1897; carabina 300 metri 3 posizioni, carabina 300 metri proni a Parigi 1900).
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