Carriera Nella categoria Elite/U23 gareggia tra le file della Chambéry Cyclisme Formation (formazione vivaio della AG2R Prévoyance) e del Vélo Club La Pomme Marseille. Negli ultimi mesi del 2007 ottiene un posto da stagista nella Agritubel, squadra che gli dà fiducia e lo conferma professionista per le stagioni 2008 e 2009. Proprio nel 2009 Bouet si aggiudica la Boucles de l'Aulne e una tappa e la classifica generale alla Volta ao Alentejo; debutta inoltre al Tour de France.
Nel 2010 si trasferisce alla AG2R La Mondiale, vincendo nella stessa annata la terza tappa del Tour de l'Ain. Due anni dopo con la Nazionale francese partecipa alla prova in linea dei campionati del mondo di Valkenburg. Nel 2013 si aggiudica la prima semitappa del Giro del Trentino grazie a una fuga, concludendo poi al terzo posto nella classifica finale. Nel 2015 passa all'Etixx-Quick Step, squadra World Tour belga.
Palmarès 2008 (Agritubel, una vittoria) Prologo Tour de Normandie (Mondeville, cronometro)
2009 (Agritubel, quattro vittorie) 1ª tappa Trois Jours de Vaucluse (Cavaillon > Bédoin) 1ª tappa Volta ao Alentejo (Vila Nova de Milfontes > Odemira) Classifica generale Volta ao Alentejo Boucles de l'Aulne
2010 (AG2R La Mondiale, una vittoria) 3ª tappa Tour de l'Ain (Montmerle-sur-Saône > Arbent)
2013 (AG2R La Mondiale, una vittoria) 1ª tappa, 1ª semitappa Giro del Trentino (Lienz > Lienz)
2018 (Team Fortuneo - Samsic, una vittoria) 1ª tappa Tour de Savoie Mont Blanc (Saint-Michel-de-Maurienne > Bonneval-sur-Arc)
Altri successi 2008 (Agritubel) Classifica scalatori Volta ao Distrito de Santarém Classifica giovani Circuit de Lorraine
2009 (Agritubel) Classifica scalatori Trois Jours de Vaucluse Classifica giovani Trois Jours de Vaucluse
Piazzamenti Grandi Giri
Giro d'Italia 2014: 38º 2015: 47º 2023: 79º
Tour de France 2009: 66º 2010: 103º 2011: 55º 2012: 55º 2013: non partito (6ª tappa) 2017: 55º 2018: 42º 2019: 74º 2022: 49º
Vuelta a España 2012: 20º 2014: ritirato (11ª tappa) 2015: 28º 2016: 47º
Classiche monumento
Milano-Sanremo 2010: 152º 2012: 117º 2013: 29º 2022: 64º
Liegi-Bastogne-Liegi 2008: ritirato 2009: ritirato 2010: ritirato 2012: ritirato 2015: ritirato 2016: 105º
Giro di Lombardia 2011: ritirato 2013: 41º 2015: 26º 2021: 58º
Competizioni mondiali Campionati del mondo Bardolino 2004 - Cronometro Juniores: 11º Varese 2008 - In linea Under-23: 84° Valkenburg 2012 - Cronosquadre Elite: 15º Valkenburg 2012 - In linea Elite: ritirato Ponferrada 2014 - Cronosquadre Elite: 20º
Competizioni europee
Campionati europei Plumelec 2016 - In linea Elite: 78º
Giochi europei Baku 2015 - Cronometro: 15° Baku 2015 - In linea: ritirato
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