Dato un ipercubo nD in uno spazio di dimensione n, si definisce sezione ortoassiale di ordine i relativa ad un suo elemento dato di dimensione s, l'intersezione dell'ipercubo con l' i-esimo degli n-s+1 spazi (n-1)D passanti per i suoi vertici ed ortogonali all'asse di simmetria condotto per il centro dell'elemento sD dato. Tale asse di simmetria, passando ovviamente per il centro dell'ipercubo, congiungerà il centro dell'elemento sD dato con il centro del suo elemento sD coniugato diametralmente opposto. Per elemento sD di un ipercubo nD si intende uno degli ipercubi di dimensione s (con 0 ≤ s < n) che compongono la sua superficie. Ad esempio gli elementi del quadrato (ipecubo 2D) sono costituiti da 4 Punti (ipercubi 0D) e da 4 Segmenti (ipercubi 1D), gli elementi del Cubo 3D sono costituiti da 8 Punti (ipercubi 0D), 12 Segmenti (ipercubi 1D) e da 6 Quadrati (ipercubi 2D). L'indice i assumerà valore 0 per lo spazio (n-1)D passante per il centro dell'elemento sD dato e valore n-s per quello passante per il centro dell'elemento sD coniugato diagonalmente opposto.
All'indice i si possono attribuire anche valori non interi, in questo caso lo spazio (n-1)D corrispondente non intersecherà l'ipercubo sui suoi vertici ma sui suoi spigoli, in un punto di essi definito dalla parte decimale dell'indice i. Ad esempio una parte decimale pari a 0,5 indicherà che l'intersezione avverrà nel punto medio degli spigoli individuati da i. Per l'indice i = (n-s)/2 , la sezione ortoassiale corrisponderà alla sezione mediana, individuata cioè dallo spazio (n-1)D passante per il centro dell'ipercubo e perpendicolare all'asse dato. In tale situazione se n-s risulta pari l'indice i = (n-s)/2 sarà intero e dunque la sezione ortoassiale mediana taglierà in due parti uguali l'ipercubo, intersecandolo sui suoi vertici. Invece se n-s risulta dispari l'indice i = (n-s)/2 avrà una parte decimale pari a 0,5 e quindi la sezione ortoassiale mediana taglierà in due parti uguali l'ipercubo, intersecandolo nei punti medi dei suoi spigoli.
Pertinenze quantitative degli elementi dell'ipercubo Si assuma che il punto sia un ipercubo 0D, cioè di dimensione zero. Traslando di una lunghezza il punto 0D in una qualsiasi direzione si traccia un segmento lungo . Si assuma che tale segmento sia un ipercubo 1D. Traslando di una lunghezza il segmento 1D in una direzione perpendicolare alla retta 1D su cui giace, si traccia un quadrato di lato , cioè un ipercubo 2D. Traslando di una lunghezza il quadrato 2D in una direzione perpendicolare al piano 2D su cui giace, si traccia un cubo di spigolo , cioè un ipercubo 3D. Traslando di una lunghezza il cubo 3D in una direzione perpendicolare allo spazio 3D su cui giace, si traccia un tesseratto di spigolo , cioè un ipercubo 4D.
Si può ripetere indefinitamente la costruzione per ottenere un ipercubo di una qualsiasi dimensione n. Si avrà dunque in generale:
Traslando di una lunghezza pari al suo spigolo un ipercubo nD in una direzione perpendicolare allo spazio su cui giace, si traccia un ipercubo (n+1)D.
Numero di elementi
Il numero di elementi di dimensione k contenuti in un ipercubo di dimensione n è pari a:
Per il segmento (ipercubo 1D)
Per il quadrato (ipercubo 2D)
Per il cubo (ipercubo 3D)
Per il tesseratto (ipercubo 4D)
Condivisione di elementi
In un ipercubo ogni elemento è condiviso da un certo numero di elementi di dimensione superiore. Si può enunciare:
In un ipercubo nD ogni elemento kD è condiviso da elementi qD, con . Si avrà:
Nel quadrato 2D - ogni vertice è condiviso da:
Nel cubo 3D - ogni vertice è condiviso da: - ogni vertice è condiviso da: - ogni spigolo è condiviso da:
Nel tesseratto 4D - ogni vertice è condiviso da: - ogni vertice è condiviso da: - ogni vertice è condiviso da: - ogni spigolo è condiviso da: - ogni spigolo è condiviso da: - ogni faccia è condivisa da:
Diagonali dell'ipercubo
Il numero di diagonali maggiori in un ipercubo è pari a .
Detta la lunghezza dello spigolo di un ipercubo nD, la sua diagonale maggiore avrà lunghezza d pari a:
Si avrà dunque:
- Segmento (ipercubo 1D): 1 diagonale di lunghezza
- Quadrato (ipercubo 2D): 2 diagonali di lunghezza
- Cubo (ipercubo 3D): 4 diagonali di lunghezza
- Tesseratto (ipercubo 4D): 8 diagonali di lunghezza
Numero di vertici nelle sezioni ortoassiali Ognuna delle sezioni ortoassiali di indice i intero intercetterà un certo numero dei 2n vertici di un ipercubo nD. Si avrà:
In un ipercubo nD la sezione ortoassiale di indice i (con i intero positivo) relativa ad un elemento sD intercetta un numero di vertici pari a:
Ricordando che in una produttoria un prodotto vuoto è uguale a 1, per tutte le sezioni ortoassiali di indice i=0 si avrà:
Se per ogni indice i il numero di vertici intersecati dagli n-s+1 spazi (n-1)D risulta pari a , allora sommando i valori ottenuti per tutte le sezioni ortoassiali, cioè facendo variare l'indice i da i=0 a i=n-s, si dovrà ottenere il numero totale dei 2n vertici dell'ipercubo. Quindi si avrà:
Sezioni ortoassiali relative ad un vertice Nel caso in cui la sezione ortoassiale sia relativa ad un vertice, essendo quest'ultimo di dimensione 0D, risulterà s=0 e quindi il numero di spazi (n-1)D perpendicolari all'asse dato risulterà uguale a n+1. Inoltre l'asse di simmetria passante per il vertice dato corrisponderà ad una diagonale dell'ipercubo per cui le sezioni ortoassiali relative ad un vertice possono essere chiamate sezioni ortoassiali diagonali. La definizione generale si modificherà come segue:
Dato un ipercubo nD in uno spazio di dimensione n, si definisce sezione ortoassiale di ordine i relativa ad un vertice dato (o sezione ortoassiale diagonale di ordine i), l'intersezione dell'ipercubo con li-esimo degli n+1 spazi (n-1)D passanti per i suoi vertici ed ortogonali all'asse di simmetria condotto per il vertice dato (corrispondente a una diagonale dell'ipercubo).
L'indice i assumerà valore 0 per lo spazio (n-1)D passante per il vertice dato e valore n per quello passante per il vertice diagonalmente opposto.
All'indice i si possono attribuire anche valori non interi, in questo caso lo spazio (n-1)D corrispondente non intersecherà l'ipercubo sui suoi vertici ma sui suoi spigoli, in un punto di essi definito dalla parte decimale dell'indice i , ad esempio una parte decimale pari a 0,5 indicherà che l'intersezione avverrà nel punto medio degli spigoli individuati da i.
Per gli indici i = 0 e i = n, la sezione ortoassiale degenererà sempre in un punto, rispettivamente il vertice dato ed il vertice all'altro estremo della diagonale dell'ipercubo ortogonale alla serie di n+1 spazi (n-1)D.
Sezioni ortoassiali diagonali mediane Per l'indice i = n/2 , la sezione ortoassiale corrisponderà alla sezione mediana, individuata cioè dallo spazio (n-1)D passante per il centro dell'ipercubo e perpendicolare alla diagonale data. In tale situazione l'indice i = n/2 sarà intero per gli ipercubi di dimensione n pari (ad esempio il quadrato 2D oppure il tesseratto 4D) e dunque la sezione ortoassiale mediana taglierà in due parti uguali l'ipercubo intersecandolo sui suoi vertici. Invece per gli ipercubi di dimensione n dispari (ad esempio il segmento 1D oppure il cubo 3D) l'indice i = n/2 avrà una parte decimale pari a 0,5 e quindi la sezione ortoassiale mediana taglierà in due parti uguali l'ipercubo intersecandolo nei punti medi dei suoi spigoli.
Passo degli iperpiani di intersezione Come si è già detto per un ipercubo nD le sezioni ortoassiali relative a un vertice sono individuate da un fascio di n+1 spazi (n-1)D perpendicolari ad una diagonale. Per il teorema delle intersezioni dimensionali, in uno spazio di dimensione n, l'intersezione tra uno spazio (n-1)D ed una retta 1D (la diagonale dell'ipercubo) è sempre un punto. Il fascio di (n+1) spazi (n-1)D(iperpiani) suddividerà dunque la diagonale in n parti uguali, pari al passo p del fascio di spazi. Si è visto sopra che la diagonale di un ipercubo nD misura:
Si avrà dunque:
Numero di vertici nelle sezioni ortoassiali diagonali La formula che prevede, in un ipercubo nD, il numero di vertici intercettato da ciascuna sezione di indice i relativa ad un elemento sD, , nel caso delle sezioni ortoassiali diagonali, essendo s = 0, diventa:
Anche in questo caso bisogna ricordare che un prodotto vuoto è uguale a 1, per cui per la sezione ortoassiale di indice i=0 si avrà:
Se per ogni indice i il numero di vertici intersecati dagli n+1 spazi (n-1)D risulta pari a , allora sommando i valori ottenuti per tutte le sezioni ortoassiali, cioè facendo variare l'indice i da i=0 a i=n, si dovrà ottenere il numero totale dei 2n vertici dell'ipercubo. Quindi si avrà:
Sezioni ortoassiali diagonali di indice 1 Per le sezioni ortoassiali diagonali di indice i=1 e di indice i=n-1 risulterà sempre:
Ne deriva che, dato un ipercubo di dimensione , tutte le sue sezioni ortoassiali diagonali individuate da indice i = 1 e le sezioni simmetriche di indice i = n-1 sono simplessi regolari di dimensione n-1, inviluppo convesso degli n punti individuati dalla sezione.
Ad esempio: - per il quadrato: le sezioni ortoassiali diagonali di indice i=1 e i=n-1 coincidono in un segmento (simplesso 1D) - per il cubo: le sezioni i=1 e i=n-1 sono due triangoli equilateri (simplessi 2D)
- per il tesseratto: le sezioni i=1 e i=n-1 sono due tetraedri regolari (simplessi 3D).
Sezioni ortoassiali diagonali del cubo 3D
Dalle pertinenze quantitative sopraindicate ricaviamo per il cubo 3D:
lunghezza dello spigolo:
numero di vertici:
diagonale del cubo:
numero di piani ortogonali alla diagonale:
passo:
Gli 8 vertici si distribuiscono sui 4 piani perpendicolari alla diagonale e che si susseguono con passo .
Il numero di vertici intercettati dai 4 piani sarà:
Risulta ovviamente verificato che infatti:
Sul piano di indice e su quello di indice si trova un solo vertice,
Sul piano di indice e su quello di indice si trovano tre vertici.
Le sezioni ortoassiali diagonali individuate dai 4 piani saranno:
Indice : Punto.
Indice : Triangolo equilatero di lato uguale a .
Indice : Triangolo equilatero di lato uguale a .
Indice : Punto.
Sezione ortoassiale mediana del cubo Si è visto che in un ipercubo nD la sezione ortoassiale mediana relativa ad un vertice è individuata dall'indice:
Nel cubo 3D la sezione ortoassiale diagonale mediana (corrispondente cioè a ) è costituita da un esagono regolare di lato uguale a .
Ovviamente il piano contenente la sezione ortoassiale diagonale mediana, essendo ad indice i=1,5 non intero, non conterrà nessuno dei vertici del cubo ed essendo la parte decimale dell'indice pari a 0,5 intersecherà il cubo nei punti medi dei suoi spigoli.
Sezioni ortoassiali diagonali del tesseratto 4D
Dalle pertinenze quantitative dell'ipercubo ricaviamo per il Tesseratto 4D:
lunghezza dello spigolo:
numero di vertici:
diagonale del Tesseratto:
numero di piani ortogonali alla diagonale:
passo:
I 16 vertici si distribuiscono sui 5 spazi 3D perpendicolari alla diagonale che si susseguono con passo . Bisogna capire bene, anche se per niente intuitivo, che, secondo il Teorema delle intersezioni dimensionali, in uno spazio di dimensione 4, una retta (la diagonale del Tesseratto 4D) interseca uno spazio 3D in un punto. I cinque spazi 3D perpendicolari alla diagonale del Tesseratto la intersecheranno in cinque punti che si susseguono con passo .
Il numero di vertici intercettati dai 5 piani sarà:
Risulta ovviamente verificato che infatti:
Sullo spazio 3D di indice e simmetricamente su quello di indice si trova un solo vertice.
Sullo spazio 3D di indice e simmetricamente su quello di indice si trovano 4 vertici.
Sullo spazio 3D di indice , che avendo indice pari ad n/2 corrisponde allo spazio 3D mediano, si trovano 6 vertici.
Le sezioni ortoassiali diagonali individuate dai 5 spazi 3D saranno:
Indice : Punto.
Indice : Tetraedro regolare di spigolo uguale a .