In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.
Definizione
Dato uno spazio vettoriale , detto l'insieme delle -forme su , per ogni vettore si definisce l'applicazione
per cui
Pertanto, il prodotto interno agisce su una -forma restituendo una -forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.
A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:
Linearità in Linearità in Regola di Leibniz graduata: Anticommutatività:
Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero . Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza. Bibliografia
Collegamenti esterni
Categoria:Geometria differenziale Categoria:Algebra differenziale