Carriera Arizona Cardinals Minter fu scelto nel corso del secondo giro del Draft 2013 dagli Arizona Cardinals. Debuttò come professionista nella settimana 1 contro i St. Louis Rams. La sua stagione da rookie si concluse con 4 tackle in 13 presenze, nessuna delle quali come titolare. Trovò maggior spazio nella successiva disputando tutte le 16 gare, di cui 5 come titolare, con 44 tackle e un sack nella settimana 12 su Russell Wilson dei Seattle Seahawks.
Cincinnati Bengals Il 18 marzo 2017, Minter firmò un contratto di un anno con i Cincinnati Bengals.
New York Jets Il 9 aprile 2018, Minter firmò con i New York Jets. Fu svincolato il 31 agosto 2018.
Tampa Bay Buccaneers Il 23 ottobre 2018, Minter firmò con i Tampa Bay Buccaneers. Il 7 febbraio 2021 scese in campo nel Super Bowl LV contro i Kansas City Chiefs campioni in carica nella vittoria per 31-9, conquistando il suo primo titolo.
Nel marzo del 2021 Minter firmò con i Buccaneers un nuovo contratto di un anno.
Palmarès
Tampa Bay Buccaneers: LV National Football Conference Championship: 1 Tampa Bay Buccaneers: 2020
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