In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Gorenstein è un anello commutativo tale che la localizzazione in ogni ideale primo è un anello di Gorenstein locale.
Un anello di Gorenstein locale è un anello locale, commutativo, noetheriano R tale che la sua dimensione iniettiva come R-modulo è finita.
Il concetto di anello di Gorenstein è un caso particolare del più generale concetto di anello di Cohen-Macaulay.
Gli analoghi non commutativi degli anelli di Gorenstein di dimensione 0 sono detti anelli di Frobenius.
Definizioni equivalenti Un anello locale, commutativo, noetheriano , con dimensione di Krull , è detto anello di Gorenstein locale di dimensione se gode di una delle seguenti proprietà equivalenti: ha dimensione iniettiva finita come -modulo; ha dimensione iniettiva come -modulo; per e è isomorfo a ; per qualche ; per ogni e è isomorfo a .
Caso non commutativo Un anello R (non necessariamente commutativo) è detto anello di Gorenstein se ha dimensione iniettiva finita sia come R-modulo sinistro che come R-modulo destro. Se R è un anello locale allora è detto anello di Gorenstein locale.
Esempi Ogni anello locale regolare è di Gorenstein. L'anello k[x,y,z]/(x2, y2, xz, yz, z2–xy) è un anello di Gorenstein 0-dimensionale.
Proprietà Un anello locale commutativo noetheriano è di Gorenstein se e solo se il suo completamento è di Gorenstein.
Bibliografia
Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
Voci correlate Anello locale regolare Anello di Cohen-Macaulay Anello di Frobenius Funtore Ext Roberto Dvornicich
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria degli anelli