Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto; condizione sufficiente affinché la funzione possegga tale proprietà è che tutte le derivate parziali siano continue in tale punto ed esistano in un intorno di esso (non devono essere necessariamente continue nell'intorno del punto).
Enunciato
Sia un aperto di , sia e sia una funzione tale che vi sia una palla in cui esistono tutte le derivate parziali (per ogni quindi anche nel punto ) e siano continue nel punto . Allora la funzione è differenziabile in
Dimostrazione per n=2
Per la definizione di differenziabilità, si deve mostrare che:
Iniziamo valutando la differenza Aggiungendo e sottraendo otteniamo
Per il teorema di Lagrange esistono due numeri e tali che e per i quali vale
e
Sommando membro a membro e riconsiderando la differenza valutata in partenza si ottiene.
Il secondo membro a sua volta può essere scritto come
Le quantità e sono entrambe limitate in valore assoluto. Infatti, dalla disuguaglianza triangolare segue che
e analogamente
Inoltre quando e anche e per quanto scritto sopra. Questo, per la continuità delle derivate, implica che e dimostrando così il teorema.
Note
Bibliografia
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Categoria:Calcolo differenziale Categoria:Funzioni reali di più variabili reali