In matematica, la disuguaglianza di Hardy-Littlewood, il cui nome si deve a G. H. Hardy e John Edensor Littlewood, stabilisce che se e sono funzioni misurabili reali e non-negative che si annullano all'infinito, e se sono definite sullo spazio euclideo , allora:
dove e sono i riordinamenti simmetrici decrescenti di e rispettivamente.
Dimostrazione Il teorema di rappresentazione della torta a strati di una funzione misurabile reale non-negativa definita su è la relazione:
dove denota la funzione indicatrice dell'insieme di livello . Questa rappresentazione segue dal fatto che:
e quindi utilizzando la formula:
Grazie a tale rappresentazione si può scrivere:
dove denota la funzione indicatrice dell'insieme dato da:
Analogamente, denota la funzione indicatrice dell'insieme dato da:
Si ha dunque:
Bibliografia
Voci correlate Disuguaglianza di riarrangiamento Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma Funzione misurabile Riordinamento radiale Spazio di Lorentz
Collegamenti esterni
Hardy-Littlewood Categoria:Teoria della misura