La funzione di Thomae, da Carl Johannes Thomae, ha molti nomi, come la funzione popcorn, la funzione di Dirichlet modificata e la funzione Riemann. Questa funzione a valori reali è definita come
È una variante della funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 per gli altri valori.
Discontinuità sui razionali La funzione popcorn ha un insieme complicato di discontinuità: è continua su tutti i numeri irrazionali e discontinua su tutti i numeri razionali.
La verifica della discontinuità può essere fatta utilizzando la continuità sequenziale, posto e , si costruisce la successione
Essa è tale da verificare le due seguenti proprietà:
E come si vede fornisce un esempio di successione che non rispetta la condizione di continuità sequenziale in quanto per essa si ha:
Continuità sugli irrazionali Ricordiamo che, per definizione, una funzione è continua in un punto se:
Sia dunque non è difficile convincersi che la seguente definizione di intorno risolve il problema:
Assegnati e , il numero reale può essere ottenuto esplicitamente nel seguente modo: Si definisce l'intero non negativo:
dove con il simbolo si indica la funzione parte intera. Si definisce allora il seguente sottoinsieme sui razionali:
cioè l'insieme di tutte le frazioni minori di 1 con denominatore non più grande di . Non è difficile dimostrare che tale insieme è finito.
Si può quindi calcolare:
che è lo stesso di quello definito precedentemente.
Integrabilità Contrariamente alla funzione indicatrice dei numeri razionali in , la funzione di Thomae risulta Riemann-integrabile su tale intervallo e con integrale nullo. Preso infatti un numero naturale e considerati i numeri razionali con e , gli intervalli chiusi centrati in e aventi raggio ricoprono . Tali intervalli possono essere opportunamente ristretti in modo da produrre una partizione di in intervalli di ampiezza , e la somma di Riemann superiore associata a tale partizione è limitata da
che è una quantità convergente a zero per .
Altro Il grafico della funzione di Thomae presenta una dimensione frattale di 3/2.
Bibliografia Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4 Spivak, M. Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9 Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5
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