In matematica, il gruppo ortogonale di grado su un campo è il gruppo delle matrici ortogonali a valori in . Si indica con o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con .
Quando è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione Le matrici aventi determinante uguale a formano un sottogruppo, che si indica con , detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.
Definizione Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare di tutte le matrici invertibili, definito come segue:
In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali.
Quando il campo non è menzionato, si sottintende che è il campo dei numeri reali . In questa voce, parleremo soltanto del caso .
Proprietà basilari Una matrice ortogonale ha determinante oppure Il sottoinsieme di formato da tutte le matrici con determinante è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con . Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.
Gli autovalori associati a una rotazione appartengono alla circonferenza unitaria . Infatti, siano e un autovettore associato all'autovalore . Poiché le matrici ortogonali preservano la norma euclidea, si ha . Essendo e , segue che .
Sul campo reale gli autospazi associati a e , gli unici valori ammissibili per gli autovalori, sono tra loro ortogonali, vale quindi .
Il gruppo è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione Il sottogruppo è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.
Topologia Il gruppo è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è
Dimensioni basse Per , il gruppo consta di due elementi, e Per , il gruppo è isomorfo al gruppo quoziente dove è l'insieme dei numeri reali e il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con , e topologicamente è una circonferenza. Per , il gruppo è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come
Gruppo fondamentale Il gruppo fondamentale di è il gruppo dei numeri interi. Per ogni il gruppo fondamentale di è invece il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con , e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo è chiamato gruppo Spin.
Note
Bibliografia
Voci correlate Matrice ortogonale Trasformazione ortogonale Rotazione (matematica)
Collegamenti esterni
Categoria:Gruppi di Lie Categoria:Teoria dei gruppi