In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi.
La maggior parte di queste identità sono state fornite da Simon Plouffe. Esse sono molto utili, in quanto danno una rapida convergenza, fornendo la garanzia di quasi tre nuove cifre decimali ad ogni nuova iterazione; esse quindi rendono agevoli calcoli di alta precisione.
ζ(3) ζ(3) è noto come costante di Apéry.
ζ(5) Simon Plouffe fornisce le identità
e
ζ(7)
Si noti che la rappresentazione ha la forma di una serie di Lambert.
ζ(2n+1)
Se si definiscono le quantità
,
si ottiene una serie di relazioni della forma
dove e si congettura siano interi positivi. Plouffe fornisce una tavola di valori:
+ Coefficienti n A B C D 3 180 7 360 0 5 1470 5 3024 84 7 56700 19 113400 0 9 18523890 625 37122624 74844 11 425675250 1453 851350500 0 13 257432175 89 514926720 62370 15 390769879500 13687 781539759000 0 17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100 19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0 21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750
Se esiste una relazione di ricorrenza, non appare affatto ovvia.
Vi sono vari risultati che dimostrano che non tutti i numeri di una famiglia di ζ(2n+1) possono essere razionali. Per quanto riguarda ζ(5), il miglior risultato, a quanto risulta, afferma che almeno uno dei numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) è irrazionale.
ζ(2n) Per i valori corrispondenti ad argomenti pari, invece, sono esprimibili mediante i numeri di Bernoulli:
I numeratori e i denominatori sono dati dalle successioni di interi registrate in OEIS con le sigle A046988 e A002432. Alcuni di questi valori sono riprodotti di seguito.
+ Coefficienti 2n A B 2 6 1 4 90 1 6 945 1 8 9450 1 10 93555 1 12 638512875 691 14 18243225 2 16 325641566250 3617 18 38979295480125 43867 20 1531329465290625 174611 22 13447856940643125 155366 24 201919571963756521875 236364091 26 11094481976030578125 1315862 28 564653660170076273671875 6785560294 30 5660878804669082674070015625 6892673020804 32 62490220571022341207266406250 7709321041217 34 12130454581433748587292890625 151628697551
Se denotiamo con il coefficiente di cui sopra,
allora per ricorsione si ottiene:
Bibliografia Simon Plouffe (1998): Identities inspired from Ramanujan Notebooks II Wadim Zudilin (2001): "One of the Numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is Irrational" Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF in inglese PS in inglese PDF in russo PS in russo
Zeta, Costanti