In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.
Dati e una funzione semicontinua superiormente:
la funzione è subarmonica se per ogni palla chiusa con centro in e raggio , e per ogni funzione continua a valori reali definita su che è una funzione armonica in e soddisfa per ogni sulla frontiera di , allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:
Una funzione è detta superarmonica se è subarmonica.
Proprietà Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica. Se è di classe su un aperto in , allora è subarmonica se e solo se si verifica su , dove è l'operatore di Laplace. Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio. Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica. Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a ).
Bibliografia
Voci correlate Funzione armonica Funzione semicontinua Insieme polare (teoria del potenziale)
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria del potenziale Categoria:Analisi complessa