In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione abeliana è un'estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano.
Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di è un sottocampo di un campo ciclotomico.
La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane finite di un campo il cui gruppo di Galois è ciclico e di ordine primo con la caratteristica di In caratteristica positiva la teoria di Kummer non può descrivere le estensioni il cui ordine è diviso da In questo caso, interviene anche la teoria di Artin-Schreier che descrive le estensioni cicliche di ordine una potenza di
Concetti correlati Se il gruppo di Galois di un'estensione di Galois è un gruppo ciclico, allora si ha un'estensione ciclica. Un'estensione di Galois è detta risolubile se il gruppo di Galois associato è un gruppo risolubile.
Ci sono due definizioni leggermente differenti di estensione ciclotomica: una qualunque estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità; una sottoestensione di un'estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità. La seconda definizione è più ampia della prima.
Esempi Ogni estensione finita di un campo finito è un'estensione ciclica. Ogni campo ciclotomico è un'estensione ciclotomica (in entrambe le definizioni). Ogni estensione ciclotomica è abeliana (in entrambe le definizioni). Ogni estensione di Kummer è abeliana.
Voci correlate Estensione di Galois Teoria di Kummer Teorema di Kronecker-Weber Estensione ciclotomica
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Categoria:Teoria dei campi Categoria:Teoria algebrica dei numeri