In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni e per alcuni valori di interi non negativi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.
I polinomi trigonometrici sono usati, per esempio, nell'interpolazione trigonometrica usata per interpolare funzioni periodiche e nella trasformata di Fourier discreta.
Il termine polinomio trigonometrico deriva dall'analogia dell'uso delle funzioni e a una base di monomi per i polinomi.
Definizione formale Una funzione della forma
con per e almeno uno tra e diverso da zero, è detta polinomio trigonometrico complesso di grado . Usando la formula di Eulero il polinomio può essere riscritto come
Analogamente, se per e almeno uno tra e diverso da zero, la funzione
è detta polinomio trigonometrico reale di grado .
Proprietà Un polinomio trigonometrico di grado può essere considerato come una funzione periodica sulla retta reale con periodo un divisore di o come una funzione (non periodica) sul cerchio unitario.
Un polinomio trigonometrico non identicamente nullo di grado ha al massimo radici in ogni intervallo per ogni reale.
L'insieme dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue sul cerchio unitario con la norma uniforme. Questo è un caso speciale del teorema di Stone-Weierstrass. Più precisamente: per ogni funzione continua e per ogni esiste un polinomio trigonometrico tale che per ogni .
Il teorema di Fejér afferma che la media aritmetica delle somme parziali della serie di Fourier di una funzione converge uniformemente a .
Bibliografia
Voci correlate Funzioni trigonometriche Serie di Fourier Trasformata discreta di Fourier
Categoria:Analisi di Fourier Categoria:Polinomi Categoria:Trigonometria