мини|Во горната рамнина (со сина боја) не е векторски потпростор, бидејќи и тоа е афин потпростор. Нејзината насока е долната (зелената) рамнина која е векторски потпростор. Иако и се во нивната разлика е вектор на поместување, кој не припаѓа на но припаѓа на векторскиот простор Во математиката, афин простор е геометриска структура во која се обопштуваат некои од својствата на Евклидовите простори така што таквите својства да се независни од концептите за растојание и мерка на агол, задржувајќи ги само својствата паралелност и односот на должините на паралелни отсечки.
Во афин простор не постои посебна точка која служи како координатен почеток. Оттука, ниту еден вектор нема фиксен почеток и на ниту еден вектор не може уникатно да му се придружи една точка. Во афиниот простор, наместо тоа, постојат вектори на поместување, наречени и вектори на транслација или едноставно транслации, помеѓу две точки од просторот.The word translation is generally preferred to displacement vector, which may be confusing, as displacements include also rotations. Така, има смисла да се одземаат две точки од просторот при што се добива вектор на поместување (вектор на транслација), но нема смисла да се собираат две точки од просторот. Исто така, има смисла да се додаде вектор на поместување на точка од афин простор што резултира со нова точка преместена (транслирана) од почетната точка за тој вектор.
Секој векторски простор може да се гледа како афин простор. Ова значи да се заборави посебната улога која ја игра нултиот вектор. Во овој случај елементите на векторскиот простор може да се гледаат или како точки на афиниот простор или како вектори на поместување или транслации. Кога се смета како точка, нултиот вектор се нарекува координатен почеток. Со додавање на фиксен вектор на елементите на линеарен потпростор на векторски простор се добива афин потпростор. Обично се вели дека овој афин потпростор е добиен со преместување (транслација) (од координатниот почеток) на линеарниот потпростор за дадениот вектор на транслација. Во конечни димензии таков афин потпростор е множеството од решенија на некој нехомоген линеарен систем. Векторите на поместување за тој афин простор се решенијата на соодветниот хомоген линеарен систем, кој е линеарен потпростор. За разлика од нив, линеарните потпростори секогаш го содржат координатниот почеток на векторскиот простор.
Димензијата на афиниот простор се дефинира како димензија на векторскиот простор на неговите транслации. Афин простор со димензија 1 е афина права. Афин простор со димензија 2 е афина рамнина. Афин потпростор со димензија во афин простор или векторски простор со димензија е афина хиперрамнина.
Неформален опис десно|мини| Координатни почетоци од гледна точка на Алиса и на Боб. Векторското пресметување од гледна точка на Алиса е означено со црвено, додека она на Боб е означено со сино. Следната карактеризација може да се разбере полесно од вообичаената формална дефиниција: афин простор е она што останува од векторскиот простор откако сте заборавиле која точка е координатен почеток (почеток) (или, според зборовите на францускиот математичар Марсел Берже: „афиниот простор не е ништо повеќе од векторски простор чиј почеток се обидуваме да го заборавиме, со додавање на транслации на линеарните пресликувања“ ). Замислете дека Алиса знае дека одредена точка е вистинскиот координатен почеток, но Боб верува дека некоја друга точка - наречена - е координатниот почеток. Треба да се соберат два вектора, и . Боб црта стрелка од точката до точката и друга стрелка од точката до точката , и го комплетира паралелограмот за да го најде она што Боб мисли дека е , но Алиса мисли (знае) дека тој всушност пресметал
.
Слично на тоа, Алиса и Боб можат да ја пресметаат која било линеарна комбинација на и (или на кое било конечно множество од вектори) и генерално ќе добијат различни одговори. Меѓутоа, ако збирот на коефициентите во линеарната комбинација е 1, тогаш Алиса и Боб ќе дојдат до истиот одговор.
Ако Алиса се премести во положбата
,
тогаш Боб слично може да се премести во положбата
.
Под овој услов, за сите коефициенти , па Алиса и Боб опишуваат иста точка со иста линеарна комбинација и покрај тоа што користат различни координатни почетоци.
Додека само Алиса ја знае „линеарната структура“, и Алиса и Боб ја знаат „афината структура“ - т.е. вредностите на афините комбинации, дефинирани како линеарни комбинации во кои збирот на коефициентите е 1. Комплет на множество со афина структура се нарекува афин простор.
Дефиниција Афин простор е множество заедно со векторски простор , и транзитивно и слободно дејство на адитивната група на врз множеството . Елементите на афиниот простор се нарекуваат точки. Векторскиот простор се вели дека е поврзан со афиниот простор, а неговите елементи се нарекуваат вектори, транслации или понекогаш слободни вектори.
Експлицитно, дефиницијата дадена погоре значи дека едно дејство е пресликување, генерално означено како собирање,
кое ги има следниве својства.
Десна единица: каде што е нултиот вектор во Асоцијативност:
(тука последниот знак е собирање во ) Слободно и транзитивно дејство: За секој пресликувањето е биекција .
Првите две својства се едноставно својствата од дефиницијата на дејство на (десна) група. Третото својство ги карактеризира слободните и преодните дејства. Сурјективноста доаѓа од транзитивноста, а потоа инјективноста следи од тоа што дејството е слободно. Постои четврто својство кое следи од 1, 2 погоре: Постоење на инјективни транслации За сите пресликувањето е биекција.
Својството 3 често се користи во следнава еквивалентна форма (5-то својство). Одземање: За секои постои единствен означен со т.ш. Друг начин да се изрази дефиницијата е дека афиниот простор е главен хомоген простор (торзор) за дејството на адитивната група на векторски простор. Хомогените простори по дефиниција поседуваат група од транзитивни дејства, а за главниот хомоген простор таквото транзитивно дејство по дефиниција е слободно.
Одземање и аксиоми на Веј Својствата на групното дејство овозможуваат да се дефинира одземање за секој даден подреден пар од точки во , со што се добива вектор од . Овој вектор, означен со или се дефинира како единствен вектор во таков што
Од транзитивноста на дејството следи постоењето, а уникатноста следи од тоа што дејството е слободно.
Ова одземање ги има следниве две својства, наречени Вејлови аксиоми:
, постои единствена точка такви што
Во Евклидовата геометрија, втората Вејлова аксиома вообичаено се нарекува правило на паралелограм .
Афините простори може еквивалентно да се дефинираат како множество од точки , заедно со векторскиот простор , и одземање кое ги задоволува Вејловите аксиоми. Во овој случај, додавањето на вектор на точка е дефинирано од првите Вејлови аксиоми.
Афини потпростори и паралелизам Афин потпростор (исто така наречен, во некои контексти, линеарна сорта, рамност, или над реалните броеви - линеарно многуобразие) на афин простор е подмножество од , така што за дадена точка , множеството од вектори е линеарен потпростор на . Ова својство, кое не зависи од изборот на , имплицира дека е афин простор, кој го има како негов асоциран векторски простор.
Афините потпростори на се подмножества на од обликот
каде што е точка од , а линеарен потпростор на .
Линеарниот потпростор поврзан со афин потпростор често се нарекува негова насока, а за два потпростора кои имаат иста насока се вели дека се паралелни.
Ова ја повлекува следнава генерализација на аксиомата на Плејфер (Playfair): ако е дадена насока , за која било точка од постои еден и само еден афин потпростор со насока , кој минува низ ; тоа е потпросторот .
Секоја транслација го пресликува секој афин потпростор во паралелен потпростор.
Терминот паралелност се користи и за два афини потпростора така што насоката на едниот е вклучена во насоката на другиот.
Афино пресликување За дадени два афини простора и чии поврзани векторски простори се и , афино пресликување или афин хомоморфизам од во е пресликувањето
за кое
е добро дефинирано линеарно пресликување. Да биде добро дефинирано се мисли дека од следува .
Ова имплицира дека, за точка и вектор , важи
Затоа, бидејќи за кое било дадено во , за единствен , е целосно дефинирано со неговата вредност во една точка и поврзаното линеарно пресликување .
Векторски простори како афини простори Секој векторски простор може да се смета како афин простор над себе. Ова значи дека секој елемент на може да се смета или како точка или како вектор. Овој афин простор понекогаш се означува за да се нагласи двојната улога на елементите на . Кога се смета за точка, нултиот вектор најчесто се означува (или , кога се користат големи букви за точки) и се нарекува почеток.
Ако е друг афин простор над истиот векторски простор (т.е. ) изборот на која било точка во дефинира единствен афин изоморфизам, кој е идентитетот на и го пресликува во . Со други зборови, изборот на почеток во ни овозможува да ги идентификуваме и до каноничен изоморфизам. Панданот на ова својство е дека афиниот простор може да се идентификува со векторскиот простор во кој „местото на почетокот е заборавено“.
Врска со Евклидовите простори
Дефиниција на Евклидови простори Евклидови простори (вклучувајќи ја еднодимензионалната права, дводимензионалната рамнина и тридимензионалниот простор кои вообичаено се изучуваат во елементарната геометрија, како и повеќедимензионални аналози) се афини простори.
Навистина, во повеќето современи дефиниции, Евклидов простор е дефиниран како афин простор, така што поврзаниот векторски простор е конечнодимензионален реален простор со внатрешен производ , т.е. векторски простор над реалното поле со позитивно-дефинитна квадратна форма . Внатрешниот производ на два вектора и е вредноста на симетричната билинеарна форма
Вообичаеното Евклидово растојание помеѓу две точки и е
Во постарата дефиниција на Евклидовите простори преку синтетичката геометрија, векторите се дефинирани како класи на еквиваленција на подредени парови точки под еквиполенција (паровите и се еквиполентни ако точките ( по овој редослед) формираат паралелограм ). Едноставно е да се провери дека векторите формираат векторски простор, квадратот на Евклидовото растојание е квадратна форма на векторскиот простор, а двете дефиниции за Евклидовите простори се еквивалентни.
Афини својства Во Евклидовата геометрија, вообичаената фраза „афино својство“ се однесува на својство кое може да се докаже во афините простори, односно може да се докаже без користење на квадратната форма и нејзиниот поврзан внатрешен производ. Со други зборови, афино својство е својство кое не вклучува должини и агли. Типични примери се паралелизмот и дефиниција на тангента. Пример за не-афино својство е дефиницијата за нормалност .
Еквивалентно, афино својство е својство кое е непроменливо при афините трансформации на Евклидовиот простор.
Афини комбинации и барицентар Нека е збирка од точки во афин простор, а се елементи на основното поле .
Да претпоставиме дека . За кои било две точки и важи
Така, оваа сума е независна од изборот на почетокот, а добиениот вектор може да се претстави како
Кога , се добива дефиниција за одземање на точки.
Сега, наместо тоа, да претпоставиме дека елементите на полето ја задоволуваат равенката . За одреден избор на почеток , означете ја со единствената точка за која
Може да се покаже дека е независна од изборот на . Затоа, ако
може да се напише
Поентата се нарекува барицентар на за тежини . Се кажува и дека е афина комбинација на со коефициенти .
Примери
Кога децата ги наоѓаат одговорите на збировите како или со броење десно или лево на бројна права, тие ја третираат бројната права како еднодимензионален афин простор. Секое комножество на потпростор на векторски простор е афин простор над тој потпростор. Ако е матрица и лежи во просторот определен од нејзините колони, множеството од решенија на равенката е афин простор над потпросторот на решенија од .