десно|мини|300x300пкс| е хармонично конјугирана на во однос на и формираат хармонична четворка. е целосен четириаголник кој ја генерира. Во проективната геометрија, хармонично конјугирана точка или хармоничен конјугат на подредена тројка точки на реалната проективна права се дефинира со следнава конструкција:

За дадени три колинеарни точки , нека е точка која не е колинеарна со нив и нека некоја права низ ги сече во соодветно. Ако и се сечат во , а се сече со во , тогаш се нарекува хармонично конјугирана точка на во однос на R. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) Axiomatic Projective Geometry, University College Leicester (publisher). This text follows synthetic geometry. Harmonic construction on page 11

Точката не зависи од тоа која точка првично се зема, ниту пак од правата повлечена низ која се користи за да се најдат и . Овој факт произлегува од теоремата на Дезарг .

Во реалната проективна геометрија, хармоничната конјугација може да се дефинира и преку двоен однос како .

Критериум за двоен однос Четирите точки понекогаш се нарекуваат хармонична четворка (на реалната проективна права) бидејќи, како што се докажува, секогаш ја дели отсечката внатрешно во ист сооднос како што ја дели надворешно . Тоа значи:

Ако на овие отсечки им се даде обична метричка интерпретација на реалните броеви, тие ќе одговараат на реални броеви и ќе формираат двојна пропорција позната како двоен однос (понекогаш наречен двоен сооднос)

кој за хармонична четворка има вредност − 1. Затоа пишуваме:

Вредноста на двојниот однос генерално не е единствена, бидејќи зависи од редоследот на избор на отсечките (и можни се шест такви избора). Но, специјално за хармоничните четворки постојат само три вредности на двојниот однос: бидејќи − 1 е инверзна сама на себе па смената на последните две точки само ја враќа секоја од овие вредности, но не произведува нова вредност, и класично е познат како хармоничен двоен однос.

Изразен преку двоен однос, за дадени точки и на афина права, односот на делење Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 7 на точка е:

Забележете дека кога , тогаш е негативен; инаку, е позитивен. Двојниот однос е однос на односите на делење или двоен однос. Двојниот однос е -1 кога , а тогаш и се хармониски конјугирани во однос на и . Значи, критериумот за односот на поделба е тие да бидат адитивно инверзни .

Хармоничното делење на отсечка е посебен случај на Аполониевата дефиниција за кругот .

Во некои училишни студии конфигурацијата на хармонична четворка се нарекува хармонска поделба .

За средината десно|мини|181x181пкс| Средината и бесконечноста се хармониски конјугирани. Кога е средна точка на отсечката од до , тогаш

Според критериумот за двоен однос, ќе биде хармониски конјугирана на кога . Но, не постои конечно решение за на правата преку и . Сепак,

со што се мотивира вклучување на бесконечна точка на проективната права. Бесконечната точка служи како хармонично конјугирана на средната точка .

Од комплетен четириаголник Друг пристап кон хармонискиот конјугат е преку концептот на комплетен четириаголник како што е на горниот дијаграм. Врз основа на четири точки, комплетниот четириаголник има парови од спротивни страни и дијагонали. Во изразувањето на хармоничните конјугати од H. S. M. Coxeter, дијагоналите се сметаат за пар спротивни страни:

да е хармониски конјугирана на во однос на и значи дека постои четириаголник за кој едниот пар спротивни страни се сечат во , вториот пар се сечат во , а третиот пар спротивни страни ја сечат во и .H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, page 29, University of Toronto Press

Карл фон Стаудт прв го употребил хармонискиот конјугат како основа за проективната геометрија независно од метричките размислувања:

. . . Стауд успеа да ја ослободи проективната геометрија од елементарната геометрија. Во неговата , Стауд вовел хармонична четворка на елементи независно од концептот на двоен однос следејќи чисто проективна рута, користејќи комплетен четириаголник или четиристраник.

алт=parallelogram with diagonals|десно|мини|, , , , (игнорирајте ја зелената точка М). За да го видите целосниот четириаголник применет за добивање на средната точка, разгледајте го следниов пасус од Џ. В. Јанг:

Ако се повлечат две произволни прави низ и правите низ , паралелни со соодветно, правите се сечат, по дефиниција, во бесконечната точка , додека се сечат по дефиниција во бесконечната точка . Комплетниот четириаголник тогаш има две дијагонални точки на и , додека преостанатиот пар на спротивни страни минуваат низ и бесконечната точка на . Точката е тогаш по конструкција хармоничен конјугат на бесконечната точка на во однос на и . Од друга страна, дека е средната точка на отсечката следи од познатата пропозиција дека дијагоналите на паралелограм () се преполовуваат една со друга.John Wesley Young (1930) Projective Geometry, page 85, Mathematical Association of America, Chicago: Open Court Publishing

Кватернарни релации Четири подредени точки на проективен опсег се нарекуваат хармонични точки кога има тетрастигма во рамнината таква што првата и третата се коточки, а другите две точки се на конекторите на третата коточка.G. B. Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry, pages 15 & 16

Ако е точка која не е на правата со хармонични точки, спојувањата на со точките се хармонични прави. Слично на тоа, ако оската на сноп од рамнини е закривена кон права со хармонични точки, рамнините на точките се хармонични рамнини.

Множеството од четири елемента во таква врска се нарекува хармонична четворка .Luis Santaló (1966) Geometría proyectiva, page 166, Editorial Universitaria de Buenos Aires

Проективни коники Коника во проективната рамнина е крива која го има следново својство: Ако е точка која не е на , и ако променлива права низ се сече со во точките и , тогаш променливата хармонична конјугирана точка на во однос на и формира права. Точката се нарекува пол на таа права на хармонични конјугати, а оваа права се нарекува поларна права на во однос на кониката. Видете ја статијата Пол и полара за повеќе детали.

Инверзивна геометрија Во случај кога кониката е кружница, на продолжените дијаметри на кружницата, хармоничните конјугати во однос на кружницата се инверзни во однос на кружницата. Овој факт произлегува од една од теоремите на Смогоржевски:A.S. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry, Mir Publishers, Moscow

Ако кружниците и се меѓусебно ортогонални, тогаш правата која минува низ центарот на и ја сече , го прави тоа во точки кои се симетрични во однос на .

Тоа значи дека, ако правата е продолжен дијаметар на , тогаш пресеците со се хармониски конјугирани.

Тетради на Галуа Во геометријата на Галоа над полето Галоа GF(q) правата има q + 1 точки, каде што ∞ = (1,0). Во оваа линија четири точки формираат хармонска тетрада кога две хармонично ги делат другите. Условот

ги карактеризира хармоничните тетради. Вниманието на овие тетради го навело Жан Дидоне до неговото разграничување на некои случајни изоморфизми на проективните линеарни групи за .

Ако и дадени се и , тогаш е хармониски конјугирана на самата себе.Emil Artin (1957) Geometric Algebra, page 82 via Internet Archive

Итерирани проективни хармонични конјугати и златен однос Нека се три различни точки на реалната проективна права. Разгледајте ја бесконечната низа од точки , каде што е хармониски конјугирана на во однос на , за .Оваа низа е конвергентна.F. Leitenberger (2016) Iterated harmonic divisions and the golden ratio , Forum Geometricorum 16: 429–430

За конечна граница имаме

каде е златниот пресек, т.e. за голем . Граничната вредност кон бесконечност е

За доказ се зема проективниот изоморфизам:

каде

Наводи

Категорија:Проективна геометрија