325px|рамка|Графички приказ на нормална распределба (или крива-ѕвоно). Сите обоени делови имаат ширина на стандардно отстапување. рамка|десно|Група на податоци со средна вредност, која изнесува 50 (обележано во сино) и стандардно отстапување (σ) од 20.
Стандардно отстапување (или „стандардна девијација“) е проста мерка за променливоста или дисперзијата во група податоци. Малото стандардно отстапување упатува на тоа дека сите елементи од групата на податоци се многу блиску до средната вредност, додека големото стандардно отстапување упатува на тоа дека групата е широка, со широк опсег на вредности.
На пример, просечната висина на возрасен маж изнесува 180 см со стандардно отстапување од околу 7,5 см. Ова значи дека најголемиот број на мажи (околу 68%, вклучувајќи ја нормалната распределба) имаат висина која варора за 7,5 см во однос на средната (172,5 см - 187,5 см), додека речиси сите мажи (околу 95%) имаат висина која варира за 15 см во однос на средната (165 см - 195 см). Ако стандардното отстапување е нула, тогаш сите мажи се високи точно 180 см. Ако стандардното отстапување е 50 см, тогаш опсегот би бил поширок, па би биле вклучени и мажи со висина од 130 см до 230 см.
Освен тоа, за да се изрази променливоста на популацијата, стандардното отстапување вообичаено се применува за да се измери довербата во статистичките заклучоци. На пример, можната грешка во податоците прибрани од анкета е условена од пресметувањето на очекуваното стандардно отстапување во реазултатите, ако анкетата била повторена повеќепати. (Обично можната грешка во податоците прибрани со анкетата е двапати поголема од стандардното отстапување, полупречник од 95% во интервалот на веројатноста.) Во науката, истражувачите обично го пресметуваат стандардното отстапување од ексериментални податоци и влијанието на податоците кои отстапуваат надвор од опсегот на стандардното отстапувње се наречени статистички значајности. Стандардното отстапување е знчајно и во финансиите, каде стандардното отстапување од стапката на враќање на инвестициите претставува ризик.
Формулирано од Френсис Галтон во доцните 1860-ти,Sir Francis Galton discovered the standard deviation стандардното отстапување останало најдобра мерка за мерење на статистичката дисперзија. Корисно својство на стандардното отстапување е тоа што, за разлика од варијансата, се изразува во исти единици како и податокот.
Само кога примерокот од податокот од статистичката популација е даден, стандардното отстапување на популацијата може да се пресмета со формулата за пресметување на стандардното отстапување од примерок, објаснето подолу.
Дефиниција и пресметување Основен пример Ги разгледуваме следните податоци:
Дадени се вредности на 8 податоци, со средна вредност (просек) еднаква на 5:
За да се пресмета стандардното отстпаување, потребно е да се пресмета разликата на вредноста на секој податок со средната вредност и истата да се квадрира:
По ова, потребно е да се најде квадратен корен од збирот на овие вредности, што го дава стандардното отстапување:
Поради тоа, низата од податоци дадена горе има стандардно отстапување еднакво на 2.
Распределба на веројатноста од случајна променлива Нека X е случајна променлива со средна вредност μ:
Овде со E е обележана очекуваната вредност од X. Тогаш стандардното отстапување од X се пресметува со формулата:
Стандардното отстапување σ е квадратен корен од просечната вредност од (X – μ)2.
Во случаите каде X поприма различни вредности од низата на податоци , стандардното отстапување е
или со употреба на ознаката за сума,Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 196.
Стандардното отстапување од (униваријанта) распределба на веројатноста е исто како и при распределбата на случајна променлива. Не сите случајни променливи имаат стандардно отстапување, бидејќи очекуваните вредности не мора да постојат. На пример, стандардното отстапување од случајна променлива, коешто според Кошиевата распределба е недефинирано за E(X) е недефинирано.
Непрекината случајна распределба
Непрекинатите распределби обично имаат формула за пресметување на стандардното отстапување како функција од параметрите на неговата дистрибуција. Главно, стандардното отстапување е случајна променлива со реална вредност X со функцијата на распределба на веројатноста p(x) е
каде
и каде интегралите се определени за x во опсег поголем од оној за X.
Прекината случајна променлива или група на податоци Стандардното отстапување на прекината случајна променлива е квадратно-средно отстапување од неговите средни вредности.
Ако случајната променлива X поприма вредности од N (каде што се реални броеви) со еднаква веројатност, тогаш неговото стандардно отстапување σ може да се пресмета на следниот начин: Се пресметува средната вредност, од вредностите. За секоја вредност се пресметува нејзиното отстапување () од средната вредност. Се пресметува квадратна вредност на отстапувањата. Се пресметува средната вредност од квадрираните отстапувања. Оваа вредност е варијансата σ2. Се пресметува квадратен корен од варијансата.
Пресметката може да се прикаже со следната формула:Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 196.
каде е аритметичка средина од xi, пресметана со:
Ако сите вредности немаат еднаква веројатност, но веројатноста од вредноста xi е еднаква на pi, стандардното отстапување може да се пресмета со:
и
каде
и N' е бројот на елементи различни од нула.
Стандардното отстапување од групирани податоци е исто како и кај прекината случајна променлива, кое точно ја одредува вредноста од групираните податоци, каде точната вредност за секој податок е пропорционална со мноштвото групирани.
Пример
Да претпоставиме дека сакаме да го најдеме стандардното отстапување од групирани податоци, во кои спаѓаат вредностите 3, 7, 7 и 19.
Чекор 1: се пресметува аритметичка средина (просек) од 3, 7, 7 и 19.
Чекор 2: се пресметува отстапувањето на секоја вредност од просекот
Чекор 3: сите отстапувања се квадрираат, што го зголемува збирот на отстапуивањата, правејќи ги негативните вредности позитивни.
Чекор 4: се пресметува збир на квадрираните отстапувања
Чекор 5: се пресметува позитивен квадратен корен од збирот на квадрираните отстапувања
Така, стандардното отстапување од групата на податоци е 6. Овој пример покажува и дека стандардното отстапување има различна вредност од средното апсолутно отстапување (кое во овој пример изнесува 5).
Се забележува дека горната група на податоци претставува само примерок од популација, модификувано стандардно отстапување од стандардното отстапување на ова популација, кое изнесува 6,93.
Поедноставување на формулата Пресметувањето на збирот од квадрираните отстапувања може да се поедностави на следниот начин:
Со замена во стандардната формула, се добива:
Пресметување на стандардното отстпување на популација од стандардното отстапување од примерок
Во светот на реалноста, да се пресмета стандардното отстапување од целата популација е нереално, освен во неколку исклучителни случаи, како стандардизираниот тест, каде секој број од популацијата е примерок. Во најголем број на случаи, стандардното отстапување се пресметува со користење на случаен примерок, одбран од популацијата. Со користење на горенаведеното за групирани податоци и со негова примена на помал или примерок со умерени модификации резултира во пресметката, која има тенденција на опаѓање: тоа е тенденција на проценка. Најкористена мерка е стандардото отстапување од примерокот, кое е дадено со
каде е примерок и е средна вредност на примерокот. Оваа исправка (примената на наместо ) е позната како Беселова исправка. Се забележува дека од дефинирањето на стандардното отстапување, „стандардното отстапување на примерок“ користи , додека поимот „просто стандардно отстапување“ се користи за поправената пресметка (со примена на ). Именителот N − 1 може интуитивно да се протолкува како број на степени на слобода во вектор од остатоците, .
Причината за оваа дефиниција е тоа дека s2 е тенденција на проценка за варијансата σ2 од главнаата популација, ако постои варијанса и вредностите се независно распределени. И покрај тоа, s не е тенденција на проценка за стандардното отстапување σ; тоа има тенденција да го потцени стандардното отстапување на популацијата. Иако тенденцијата на проценка за σ е познато кога случајната променлива е нормализирано распределена, формулата е сложена и доведува до мала исправка: видете тенденција на проценка на стандардно отстапување. И покрај тоа, не е секогаш посакувано; видете тенденција на проценка.
Друга проценка, која понекогаш се употребува во истиот случај, „стандардното отстапување од примерок“:
Оваа форма има еднакво помала средна квадратна грешка од тенденцијата на проценка, и е проценка на максималната веројатност, кога популацијата е нормализирано распределена.
Својства на стандардното отстапување
За константата c и случајните променливи X и Y:
каде и имаат оделно варијанса и коваријанса.
Објаснување и примена
Големото стандардно отстапување значи дека вредностите на податоците се далеку од средната вредност, а помалото стандардно отстапување значи дека тие се поблиску до средната вредност.
На пример, секоја од трите популации {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8} има средна вредност 7. Нивните стандардни отстапувања се 7, 5 и 1. Третата популација има многуи помало отстапување од останатите две, бидејќи вредностите на податоците од оваа популација се најблиску до 7. Со други зборови, стандардното отстапување ни кажува на каква оддалеченост од средината се наоѓаат вредностите на податоците од популацијата. Тоа се изразува во иста единечна мерка како и податоците. Ако, на пример, групата на податоци {0, 6, 8, 14} претставува временски период во години од популацијата, тогаш и стандардното отстапување, кое изнесува 5 ќе претставува временски период во години.
Друг пример е популацијата {1000, 1006, 1008, 1014}, која ги претставува должините истрчани од страна на четири атлетичари измерена во метри. Средната вредност изнесува 1007 метри, а стандардното отстапување 5 метри.
Стандардното отстапување може да служи како мерка за неопределеност. Во физиката, на пример, добиеното стандардно отстапување од група на величини со повторување треба да даде прецизност на овие величини. Во случај величините да се во согласност со теоретските предвидувања, стандардното отстапување од овие величини е од особено значење: ако средната вредност на величините отстапува премногу од предвидувањата (со оддалечување мерено со стандардно отстапување), тогаш теоријата којашто била испробана најверојатно треба да биде поправена. Ова има смисла, бидејќи величините се наоѓаат надвор од опсегот на вредности, кои последично би се појавиле, ако предвидувањата беа точни, а стандардното отстапување соодветно (видете интервал на предвидување).
Примена
Стандардното отстапување може да се протолкува, како одговор на прашањето, колку многу варијации има од просекот (средната вредност).
Температура Како едноставен пример, се семат просечната температура во градовите. Доколку два града имаат просечна температура од 15 °C, потребно еда се укаже на тоа дека опсегот на движење на температурата е помал во крајбрежните отколку кај континенталните градови. Тоа значи дека отстапувањата од просечната температура се поголеми кај контненталните отколку кај крајбрежните градови.
Па, така просечната температура од 15 °C се јавува и кај град со максимална температура од 25 °C, а минимална 5 °C, но и кај град со максимална температура од 18 °C и минимална од 12 °C. Стандардното отстапување ни овозможува даго одредиме градот, во кој температурата се движи во помал интервал и градот во кој се движи во поголем интервал.
Спорт