Во математички областа на диференцијална геометрија, метрички тензор е тип на функција која ги зема како влез еден пар на тангентни вектори v и w во една точка на површината (или повисоко димензионални диференцијабилна сложеност) и произведува реалниот број склар g(v, w) на начин на кој се генерализираат многу од познатите својства на точка производ на вектори во Евклидиски простор. На ист начин како точка на производот, метрички тензор се користи да се дефинира должина и агол помеѓу тангент вектори. Преку интегрирање, мерички тензор овозможува да се дефинираат и да се пресмета должината на кривините на колектор.
Еден метрички тензор се нарекува позитивно определен, ако се дава позитивна вредност g(v, v) > 0 за секој ненулти вектор v. Сложеност со позитивно-дефинитивни метрички тензор е познат како сложеност на Риеманниан. На Сложеноста на Риеманниан, кривата поврзува две точки (на локално ниво) е најмалата должина и се нарекува геодезија, и нејзината должина е растојанието што патник во сложеноста треба да го помине од една точка до друга. Опремени со оваа претстава на должината, Сложеноста на Риеманиан е метрички простор, што значи дека таа има функција растојание d(p, q) , чија вредност на еден пар на точките p и q е растојанието од p до q . Спротивно на тоа, метричкиот тензор сам по себе е изведен од функцијата за растојание (земени во соодветен начин). На тој начин метрички тензор дава бесконачно мало растојание на сложеноста.
Додека идејата за еден метрички тензор беше позната во некоја смисла од математичари како што се Карл Гаус од почетокот на 19 век, сè до почетокот на 20-от век, дека нејзините својства како тензор беа разбрани од страна на, особено, Грегорио Ричи-Курбастро и Тулио Леви-Чивита, кои први го кодифицираа поимот на тензор. Метрички тензор е пример на тензорско поле.
Компоненти на еден метрички тензор во координатна основа се земе во форма на симетрична матрица чии записи се трансформираат компаративно под промени на координатен систем. На тој начин метрички тензор е компаративно симетрички тензор. Од координатите-независен точка на гледање, поле на метрички тензор е дефинирано да биде негенерирачка симетрична билинеарна форма на секој тангентен простор кој се движи непречено од точка до точка.
Вовед Карл Фридрих Гаус во 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas (Општи испитувања на криви површини) ја смета површината параметрично, со Декартови координати x, y, и z на точки на површината во зависност од две помошни променливи u и v. На тој начин параметрска површината (во денешна смисла) векторска функција
во зависност од некој пар од реални променливи (u, v), и дефинирани во D во uv-рамнина. Еден од главните цели на Гаус-овите истражувања беше да доведе оние одлики на површината што може да бидат опишани со функцијата која ќе остане непроменет ако површината биде подложена на трансформација во просторот (како што се свиткување на површината без издолжување), или промена во одредена параметрска форма на иста геометриска површината.
Една природна како неменливи количина е должината на крива нацртана по површината. Друг е аголот помеѓу еден пар на криви нацртани по површината на препокривање во една заедничка точка. Трета количество е област на дел од површината. Изучувањето на овие инваријанти на површината го навеле Гаус да се воведе претходник на модерниот поим за метрички тензор.
Должина на лак Ако променливите u и v се преземат за да зависи од трета променлива, т, земајќи вредности во интервалот [a, b], а потоа r→(u(t), v(t)) ќе трага од параметрска крива во параметрска површината М. Должина на лак на крива е даден со интегралот
каде претставува Евклидова норма. Тука е применето правило на синџир, и индексите означуваат парцијални изводи:
Интергранд е ограничувањеMore precisely, the integrand is the pullback of this differential to the curve. на кривата на квадратен корен од (квадратен) диференцијалкадеКоличината ds во () се нарекува линија елемент, додека ds2 се нарекува прв основните форма на М. Интуитивно, тоа претставува главен дел од квадрат на замена подложен од страна на r→(u, v) кога u е зголемен од du единици, а v е зголемен од dv единици.
Со користење на матрица, првата основна форма станува
Координатни трансформации Да претпоставиме сега дека различна параметризација е избрана, преку овозможување на u и v да зависи од друг пар на променливи u' и v'. Потоа се аналогни на () за нови променливи еПравилото на синџир се однесува на E′, F′, и G′ на E, F, и G преку матрична равенкакаде горен индекс Т означува матрицата се транспонира. Матрицата со коефициенти E, F и G организирани на овој начин затоа преобразени од матрицата на Јакобиан за промена на координатите
Матрица која преобразува на овој начин е еден вид на она што се нарекува тензор. Матрицата
со трансформацијата на законот () е познат како метрички тензор на површината.
Инвариантост на членови под координатни трансформации Ричи-Курбастро и Леви-Чита (1900) први воочија за значењето на системот на коефициенти E, F, G, дека трансформира во начин на додавање од еден систем на координати на друг. Крајниот резултат е дека првата основна форма () е неменлива под промени во координатен систем, и дека ова следи исклучиво од својствата на трансформација на E, F и G. Навистина, од страна на Правилото на синџир,
така што
Должина и агол Друга интерпретација на мерички тензор,повторно од Гаус, е дека тоа обезбедува начин на кој да се пресмета должината на тангентниот вектор на површината, како и аголот меѓу два тангентни вектори. Во современи услови, мерички тензор овозможува да се пресмета на точка производ на тангент вектори на начин независно од параметрска опис на површината. Било кој тангент вектор на точката на параметрска површина M може да биде напишан во форма
за погоден реални броеви p1 и p2.Ако два тангент вектори се дадени:
потоа со помош на билиниарноста на точка производ,
Ова е јасно функција на четири променливи на a1, b1, a2, и b2. Тоа е попрофитабилно да се гледа, сепак, како функција од еден пар на аргументите a = [a1 a2] и b = [b1 b2] кои се вектори во uv-рамнина. Тоа е
Ова е симетрична функција во а и б, што значи дека
Тоа е, исто така, билинеар, што значи дека тоа е линеарна во секоја променлива а и б одделно. Тоа е,
за било кои вектори a, a′, b, и b во uv-рамнина, и сите реални броеви μ и λ.
Особено, должината на тангент вектор а е дадена со
и аголот θ помеѓу два вектора a и b се пресметува со
Област На површина е една друга бројчена количина која треба да зависи само од површината, а не за тоа како тоа е параметризирана. Ако површината М е параметризирана од функцијата r→(u, v) во текот на домен D во uv-рамнина , а потоа на површина од M е даден со интегралот
каде × означува нус производ, и апсолутна вредност означува должина на вектор во Евклидов простор. Со идентитетот на Лагранж на нус производ, интегралот може да се запише како
каде det е детерминанта.
Дефиниција Нека M биде сложеност со димензија n; на пример на површината (во случај n = 2) или хиперповршина во Декартови простор ℝn + 1. Во секоја точка p ∈ M таму е векторски простор TpM, наречен тангентен простор, кој се состои од сите тангент вектори на сложеност во точка p. Метрички тензор на p е функција gp(Xp, Yp) кој зема како инпути еден пар на тангент вектори Xp и Yp во p, и се произведува како излез на реалниот број (скалар), така што следните услови се задоволени:
gp е билиниар. Функција од два вектор аргументи е билиниар ако е линеарен во секоја функција. Така ако Up, Vp, Yp се три тангент вектори на p и a и b се реални броеви, тогашhttps://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a9b6fcdc83cd9250c826a09d2ae8637f40a1c9 gp е симетричен.In several formulations of classical unified field theories, the metric tensor was allowed to be non-symmetric; however, the antisymmetric part of such a tensor plays no role in the contexts described here, so it will not be further considered. Функција од два вектор аргументи е симетрична за сите вектори на Xp и Yp,
gp е негенериран. Билинеарна функција е негенерирана за секој тангентен вектор Xp ≠ 0, функцијата е
добиени со држење Xp константа и дозволувајќи им на Yp да варира не е идентична нула. Тоа е, за секој Xp ≠ 0 постои Yp така што gp(Xp, Yp) ≠ 0.
Област од метрички тензор g на М доделува на секоја точка p на М еден метрички тензор gстр во тангент простор на p во начинот на кој варира со p. Поточно, со оглед на било кое отворено множество U на сложеност М и било кои векторски полиња X и Y на U, на реална функција
е непречено функционирање на p.
Метрички компоненти Метрички компоненти во која било основа на векторски полиња, или рамка, f = (X1, . се дадени од страна наThe notation of using square brackets to denote the basis in terms of which the components are calculated is not universal. The notation employed here is modeled on that of . Typically, such explicit dependence on the basis is entirely suppressed.На n2 функции gij[f] форма на записи на n × n симетрична матрица, G[f]. Ако
се два вектора на p ∈ U, тогаш вредноста на мерката се применува на v и w се утврдува од страна на коефициенти () од билиниарноста:
Означувајќи ја матрицата (gij[f]) од страна на G[f] и уредување на компоненти на вектори v и w во колона вектор v[f] и w[f],
каде што v[f]T и w[f]Т означува транспонирање на вектори v[f] и w[f], соодветно. Под промена на основа на формата
за некои обратни n × n матрицата A = (aij), матрица на компоненти на метрички промени од А. Тоа е,
или, во однос на записите на оваа матрица,
За оваа причина, системот на количините gij[f] се вели дека за да се трансформира компаративно во однос на промените во рамките на f.
Метрички во координати Систем од n реални функции (x1, ..., xn), давање на локалниот координатен систем на отворени поставите U во М, одредува на основа на векторски полиња на U
Мерката g има компоненти во однос на оваа рамка дадена од страна на
Во однос на новиот систем на локални координати, е
метричкиот тензор ќе утврди различа матрица на коефициенти,
Овој нов систем на функции е поврзана со оригиналниот gij(f) со помош на правилото на синџир
така што
Или, во однос на матрици G[f] = (gij[f]) и G[f'] = (gij[f']),
каде Dy означува матрица на Јакобиан на промена на координатите.
Метрички потпис Поврзаноста на било кој метрички тензор е квадратна форма сефинирана на секој тангентен простор од
Ако qm е позитивен за сите не-нулти Xm, тогаш мерката е позитивнио дефинитивно на м. Ако мерката е позитивно дефинитивно на секој m ∈ M, тогаш g е наречена Риманова метрика. Генерално, ако квадратна форми qm имаат константа независно од m, тогаш потпис на g е овој потпис, и g е наречена псевдо-Риманова метрика. Ако M е поврзан, потоа потпишување на qm не зависи од м.
Законот за инерција на Силвестер, се заснова на тангент вектори Xi кои може да се избере локално така што квадратната форма дијагонализира на следниов начин
за некои p помеѓу 1 и n. Било кои два такви изрази на q (по иста точка m на M) ќе го имаат истиот број на p позитивни знаци. Потпис на g е пар на цели броеви (p, n − p), означува дека постојат p позитивни знаци и n − p негативните знаци во секое такво изразување. Еквивалентно, мерката има потпис (p, n − p) ако матрицата gij на метрички има p позитивни и n − p негативни сопствени вредности.
Одредени метрички потписи кои се јавуваат често во апликации се:
Ако g има потпис (n, 0), а потоа g е Риманова метрика, и M е наречен Риманова сложеност. Инаку, g е псевдо-Риманова метрика, и M е наречен псевдо-Риманова сложеност (терминот полуриманова исто така се користи). Ако M е четири-димензионални со потпис (1, 3) или (3, 1), тогаш метрички се нарекува Лоренцова метрика. Генерално, еден метрички тензор во димензија n освен 4 на потпис (1, n − 1) или (n − 1, 1) понекогаш се нарекува и Лоренцов. Ако M е 2n-димензионални и g има потпис (n, n), тогаш се нарекува метрички ултрахиперболичен.
Инверзна метрика