мини|Формулата изразува решение на непознатата во квадратна равенка , каде константата a е различна од нула. Алгебра (од арапски ел-џебр, „составување на откршоци“) — еден од поголемите делови од математиката, заедно со теоријата на броеви, геометрија и анализа. Во својата најопшта форма, алгебрата е студија на математички симболи и правила за манипулирање со овие симболи;I. N. Herstein, Topics in Algebra, "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964 тоа е обединувачка нишка на речиси целата математика.I. N. Herstein, Topics in Algebra, "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964 Како таква, таа вклучува сè од решавање на основни равенства до проучувањето на апстрактни теми како групи, прстени и полиња. Поосновните делови од алгебрата се нарекуваат елементарна алгебра; поапстрактните делови се нарекуваат апстрактна алгебра или модерна алгебра. Елементарна алгебра е генерално се смета дека е од суштинско значење за било кое изучување на математиката, било која наука наука, инженерство, а исто така наоѓа примена и во медицината и економијата. Апстрактна алгебра е голема област во напредна математика, изучувана првенствено од страна на професионални математичари.
Елементарна алгебра се разликува од аритметиката во употребата на апстрактните симболи, како што е користењето на букви за броеви кои се или непознати или можат да земат многу вредности. На пример, во е непозната. Во , симболите и се променливи, и симболот е константа, која ја означува брзината на светлината во вакуум. Алгебра дава методи за решавање равенки и изразување формули кои се многу полесни (за оние кои знаат како да ги користат) од постарите методи на пишување, каде се користеле зборови наместо симболи.
Зборот "алгебра" исто така се користи на одредени специјализирани начини. Посебен вид на математички предмет во апстрактната алгебра е наречен "алгебра", и овој збор се користи, на пример во фрази, линеарна алгебра и алгебарска топологија.
Потекло на поимот Зборот алгебра доаѓа од арапскиот الجبر (al-jabr буквално "повторното обединување на скршени делови") од насловот на книгата Ilm al-jabr wa'l-muḳābala од персискиот математичар и астрономот ел-Хорезми. Зборот влегол во англискиот јазик во текот на XV век, од шпански, италијански или средновековен латински. Зборот алгебра првично бил употребуван во контекст на хируршката процедура за поставување на скршени или дислоцирани коски. Математичкото значење за првпат било запишано во шеснаесеттиот век.
Различни значења на „алгебра“ Зборот "алгебра" има неколку сродни значења во математиката, како еден збор или во сложени термини. Како единствен збор, "алгебра" има две значења: може да именува широк дел од математиката или да означува специфична математичка структура, чија прецизна дефиниција зависи од авторот. За втората дефиниција обично структурата има додавање, множење и скаларно множење. Кога некои автори го користат терминот "алгебра", тие прават подмножество од следниве дополнителни претпоставки: асоцијативни, комутативни и сл. Во универзалната алгебра, зборот "алгебра" се однесува на генерализација на горенаведениот концепт, кој овозможува n-ти операции. Обично, кога е дел од сложен термин, повторно постои две толкувања: може да именува дел од алгебрата, како што се линеарна алгебра, елементарна алгебра (правилата за симболична манипулација предавани во основните математички курсеви како дел од основното и средното образование), или апстрактна алгебра (проучување на алгебарските структури); или може да се користи за да означи некоја апстрактна структура, како Лијева алгебра или асоцијативна алгебра.
Алгебрата како гранка на математиката Алгебрата почнала со пресметки слични на оние на аритметика, со букви како ознаки за броеви. Ова е овозможило докази за својства кои се вистинити без разлика кои броеви се вклучени. На пример, во квадратната равенка:
можат да бидат било кои броеви (освен што не може да биде ) итн. квадратна формула може да се користи за брзо и лесно да се најдат вредностите на непознатата кои се точните решенија на равенката.
Историски гледано, а и во тековната настава, проучувањето на алгебра започнува со решавање на равенки, како што е квадратната равенка погоре. Тогаш се поставуваат повеќе општи прашања, како што се "дали равенката има решение?", "колку решенија има равенката?", "каква е природата на решенијата?". Овие прашања водат до идеите за форма, структура и симетричност. Овој начин на размислување овозможил алгебрата да се употребува и во пресметките на небројчени објекти, како што се вектори, матрици, и полиноми. Структурните својства на овие небројчени објекти биле искористени да се дефинираат алгебарски структури , како што се групи, прстени и полиња.
Пред 16 век, математиката е поделена на само две подобласти, аритметика и геометрија. Иако некои методи, кој биле развиени многу порано, може да се сметаат во денешно време како "алгебра", појавата на алгебрата и, наскоро потоа, на калкулус како подобласти на математиката датираат од 16-ти или 17 век. Од втората половина на 19 век, се појавиле многу нови области на математиката, од кои повеќето се употребуваат и аритметика и геометрија, а во речиси сите се употребува алгебра.
Денес, алгебрата е надополнета и вклучува многу гранки на математиката, како што може да се види од класификацијата на математички области каде ниедна од областите од прв ред не се нарекува алгебра. Денес алгебрата во себе ги вклучува областите 08-Општи алгебарски системи, 12- теорија на поле и полиноми, 13 - комутативна алгебра, 15 - линеарна и полилиниеарна алгебра; теорија на матрици, 16 - асоцијативна алгебра, 17 - неасоцијативна алгебра, 18 - теорија на категории; хомолошка алгебра, 19-теорија К и 20- теорија на групи. Алгебрата исто така се користи нашироко во 11 - теорија на броеви и 14 - алгебарска геометрија.
Историја
Почетокот на историјата на "алгебра" мини|Страница од „Зборник на пресметки со дополнување и противположување“ на ел-Хорезми Корените на алгебрата датираат од времето на античките Вавилонци, , кои развиле напреден систем на аритметика со кој биле во можност да направат пресметки слични на алгоритми. Вавилонците развиеле формули за пресметување решенија за проблемите кои денес обично се решаваат со користење на линеарни равенки, квадратни равенки, и недетерминирани линеарни равенки. Наспроти тоа, повеќето Египќани од овој период, како и грчката и кинеската математика во 1-от милениум П.Н.Е., обично ги решавале таквите равенки со геометриски методи, како што се оние опишани во „Ахмесовиот папирус“, „Евклидовите елементи“, како и „Деветте поглавја за математичката вештина“. Геометријата на Грците, како што е претставена во евклидовите елементи, поставила рамки за генерализирање на формули кои можат да се употребат во повеќе општи системи за дефинирање и решавање на равенки, иако тоа не се случило додека не била развиена математиката во средновековниот Ислам.
Од времето на Платон, грчката математика била подложна на драстични промени. Грците создале геометриска алгебра, каде што термините биле претставени како страни на геометриски објекти, обично линии, на кои им е назначена буква. "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry." Диофант (3 век од Н.Е.) бил грчки математичар од Александрија и автор на серија на книги наречена Аритметика. Овие текстови се занимаваат со решавање на алгебарски равенки, и за првпат претставуваат равенка која во теоријата на броевите е наречена Диофантова равенка.
Претходните традиции дискутирани погоре имале директно влијание на персискиот ел-Хорезми (околу 780-850 г.). Тој подоцна ја напишал книгата „Зборник на пресметки со дополнување и противположување“, со која се утврдила алгебрата како математичка дисциплина која е независна од геометријата и самата аритметика.
Хеленистичките математичари Херон Александриски и Диофант како и индиските математичари како на пример Брамагупта ги продолжиле традициите на Египет и Вавилон, иако Диофантовата Аритметика и делото на Брамагупта „Исправно поставениот наук на Брама“ (Brāhmasphuṭasiddhānta) се на повисоко ниво. На пример, првото комплетно аритметичко решение (вклучувајќи и нула и негативни броеви) на квадратните равенки бил опишан од страна Brahmagupta во својата книга. Подоцна, персиски и арапски математичари развиле алгебарски методи со многу повисок степен на софистицираност. Иако Диофант и Вавилонците користеле претежно специјални методи за решавање на равенки, придонесот на ел-Хорезми е фундаментален. Тој решил линеарни и квадратни равенки без алгебарска симболика, негативни броеви или нула, така тој морал да разграничи неколку видови на равенки.
Во контекстот каде што алгебрата е идентификувана со теоријата на равенки, грчкиот математичар Диофант традиционално е познат како "татко на алгебрата", но во поново време постои многу дебатата за тоа дали ел-Хорезми, кој ја основал дисциплината al-jabr, ја заслужува таа титула, наместо Диофант. Оние кои го поддржуваат Диофант укажуваат на фактот дека алгебрата која се наоѓа во Al-Jabr е на малку пониско ниво од алгебрата во Аритметика. Оние кои го поддржуваат ел-Хорезми укажуваат на фактот дека тој ги претставил методите на „одземање“ и „балансирање“ (поништувањето на истите износи спротивната страна од равенката) на што al-jabr првично се однесувал како термин, "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation." и дека тој дал исцрпно објаснување на решавање на квадратните равенки, "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions." поддржани од геометриски докази, при тоа третирајќи ја алгебрата како независна дисциплина.Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers". Неговата алгебра ,исто така, повеќе не се занимавала со „решавање на серија на проблеми, туку со излагања кои започнуваат со примитивни услови во кои комбинациите мора да ги претстават сите можни прототипови за равенките, кои од сега па натаму експлицитно го сочинуваат вистинскиот предмет за истражување". Тој исто така ги проучувал равенките теоретски и "на општ начин, така што проучувањето не е за цел на решавање на некој конкретен проблем, туку се експлицитно употребени за дефинирање на неограничен број на проблеми".