right|thumb|alt=Triangle que l'interior es blau clar e los costats blau mai escur.|Un triangle. En geometria euclidiana, un triangle es une figura plana, formada de tres punts nomenat vertèxes, pels tres segments que los ligan, nomenat costats, terminant un domeni del plan nomenat interior. Quand los vertèxes son distinctes dos a dos, dins cada vertèx los costats delimitant un angle interior, que lo nom de « triangle ».
Lo triangle es tanben lo poligòn mai simple que délimita una partida del plan e servís atal d'element fondamental pel decopatge e l'aproximacion de superfícias.
Fòrça construccions geometricas de punts, drechas e cercles associats a un triangle son ligadas per de propriatats qu'èran plan sovent ja enonciats dins los Elements d'Euclides, prèp de 300 ans abans Crist. Las relacions entre las mesures dels angles e las longors dels costats son sobretot a l'origina de tecnicas de calcul de distàncias per triangulacion. Lo desvolopament d'aquelas tecnicas constituís encara una branca de las matematicas nomenada trigonometria.
Fòra de la geometria euclidiana, los costats d'un triangle son remplaçat per d'arcs geodesics e fòrça de las siás proprietats son modificada.
La forma triangulara se torna trobar dins fòrça objèctes, matematics o non, e se carguèt de simbolicas divèrsas. fòrça caractèrs tipografics presentan una forma meteissa.
Descripcion Notacions thumb|left|alt=Triangle ABC amb las notacions AB=c, AC=b e BC=a, los angles en A, B e C essent respectivament notats alfa, bèta, gammá|Notacions usualas per un triangle Un triangle es completament determinat per la donada de sos tres vertèxes e se nota en general ne juxtapausant las tres letras (a priori capitalas) que los designan. L'òrdre d'aquelas letras a pas d'importéncia pasmens se l'òrdre d'enonciacion correspond en general a un parcors dins lo sens trigonometric a l'entorn del triangle. La longor d'un costat es classicament notada amb la letra minuscula correspondent al vertèx oposat.
Se totes los vertèxes son distinctesDins lo cas que dos vertèxes son confonduts, la direccion del costat que los liga es pas definida e los angles adjacents tanpauc., cada angle geometric pòt èsser identificat per la letra del vertèx correspondent, amb un accent circonflèx. Dins lo cas que la figura comprend d'autres segments passant pels vertèxes, los costats de l'angle son precizats per las letras designant los dos autres vertèxes de cada costat de l'accent circonflèx. Aqueles angles pòdon tanben èsser notats amb una letra grèga en minuscula.
Premièras proprietats Inegalitat triangulara
Lo postulat euclidian segon que s'illustra pel fach que dins un triangle, la longor de cada costat es inferiora a la soma de las longors dels dos autres costats:
Lo cas d'egalitat caracteriza los triangles plans, ont un dels vertèxes aparten al segment que liga los dos autres.
Recipròcament, donadas tres longors (donadas per tres nombres reals positius) que cap es superiora a la soma dels dos autres, es possible de construire un triangle avent aquelas longors de costat. La verificacion d'aquelas inegalitats se pòt far sonque comparant la mai granda de las tres longors amb la soma de las doas autras, perque las doas autras inegalitats son necessàriament vertadièras.
Sufís alara de construire d'en primièr un segment d'una de las tres longors volgudas, puèi de traçar dos cercles centrats sus las extremitats d'aquel segment amb per rai cada de las doas autres longors. Ambedós cercles an alara dos punts d'interseccion e quin que siá d'aquel dos punts definís lo triangle de dimensions volguda amb lo vertèx inicial.
Vertèxes right|thumb|La soma de las mesuras dels angles d'un triangle val 180°.
La soma dels angles d'un triangle es egala a un angle plan, d'una autra mena la soma de lors mesuras val 180° (gra) es a dire π radians. Aquela proprietat es una caracteristica de la geometria euclidiana. Existís d'autras geometrias, dichas geometrias non euclidianas, ont la soma dels angles d'un triangle es totjorn superiora a 180° (se diche alara de geometria elliptica) o al contrari inferiora (la geometria es alara dicha geometria iperbolica).
Recipròcament, essent donadas tres mesuras (non nullas) d'angles geometrics que la soma val un angle plan, existís un triangle avent aquelas mesuras d'angles. Sufís de traçar un segment d'una longor quina que siá e de traçar una miègdrecha en cada extremitat mas del meteis costat del segment, de biais que forme dos dels angles volguts amb lo segment inicial. Ambedoas miègdrechas aurán un punt d'interseccion que l'angle interior será lo tresen angle volgut.
Casses particulièrs Un triangle qu'al mens dos vertèxes son confonduts es dich degenerat o en agulha.
Un triangle plan es un triangle que los vertèxes son alinhats.
Un triangle isocèl es un triangle avent al mens dos costats de meteissa longor. Ambedós angles adjacents al tresen costat son alara de meteissa mesura. Recipròcament, tot triangle avent dos angles de meteissa mesura es isocèl. Los triangles isocèls son los sols a aver un axe de simetria levat los triangles plans.
Un triangle equilateral es un triangle que los tres costats an la meteissa longor. Aqueles tres angles an alara la meteissa mesura que val doncas 60° e admet tres axes de simetria.
Un triangle qu'es ni isocèl (exclusissent tanben lo cas equilateral) ni plan se sona scalèn (del grèc σκαληνός (skalenos) : garrèl, inegal, desequilibrat, de biais...) S'agís donca d'un triangle avent tres costats de longors diferentas, tres angles de mesuras diferentas e ges d'axe de simetria.
Un triangle rectangle es un triangle avent un angle drech, es a dire que mesura 90°. Satisfacha alara lo Teorèma de Pitagòras. Coma la soma dels angles d'un triangle val 180°, sonque pòt aver pas qu'un angle obtús (superior a l'angle drech). S'i a un, lo triangle es obtusangle o ambligòn. S'i a pas, es acutangle o oxigòn (A alara tres angles aguts).
Qualques triangles recebèron de denominacion particularas que determina lors angles: lo miègcarrat es un triangle isocèl rectangle, que pòt s'obtenir ne ligant tres vertèxes d'un carrat; lo triangle dels arpentaires o triangle « 3-4-5 » es un triangle rectangle que los costats son de longors 3, 4 et 5 en foncion d'une unitat fixada; lo triangle de l'escolan o triangle miègequilateral es un triangle rectangle que las mesuras dels angles son de 30°, 60° e 90° ; lo triangle d'aur es un triangle isocèl que los angles a la base valon dos cinquens de l'angle plat, siá 72° ; un triangle de Kepler es un triangle rectangle que las longors de costat seguisson una progression geometrica.
Un triangle se sona bisocèl s'una de sas bissectriças lo partatja en dos triangles isocèls. Sonque pòt s'agir que d'un miègcarrat o d'un triangle d'aurVeire la demonstracion sus la pagina triangle al collègi..
Aira e perimètre L'aira d'un triangle es donada per mai d'una formulas, la primièra essent foncion de la longor d'un costat, nomenada basa, e de la distància del vertèx opausat a la drecha que porta aquel costat, nonenada nautor.
Aquela formula es derivada d'aquela de l'aira d'un parallelogram e demonstrada dins los Elements d'Euclides.
D'autres formulas fan apèl a la longor dels costats (formula d'Eron) o a las coordonadas dels vertèx dins un repèri ortonormat.
Lo perimètre d'un triangle es simplament la soma de las tres longors de costat. Per un perimètre donat, l'aira interiora del triangle es majorada per aquela del triangle equilateral correspondent:
Relacions trigonometricas Las longors dels costats d'un triangle e las mesuras dels sièus angles satisfaran mai d'una relacions que permeton totas de las calcular dempuèi calque d'unas. S'agís d'un costat, en mai de la formula de la soma dels angles, d'una relacion entre l'aira, la mesura d'un angle e la longor dels dos cestats adjacents:
que permet d'obtenir la formula dels sinus :
e mai, del teorèma d'Al-Kashi (o lei dels cosinus) que generaliza lo teorèma de Pitagores: .
Utilizacions Triangulacion Las relacions metricas dins lo triangle permeton d'evaluar de distàncias dempuèi de mesuras angularas, coma per la navigacion maritima, en geodesia e en astronomia. Es segon aquel principi que foguèt mesurat lo meridian terrèstre per la definicion del mètre.
Descomposicion de superfícia thumb|Los tres polièdres regulars convèxes de fàcias triangularas Sul plan, lo calcul de l'aira d'un domeni pòt èsser evaluada en raprochant aquel domeni per una reünion de triangles disjonches.
Mai generalament, de superfícias de l'espaci pòdon èsser aproximada per une reünion de triangles nomenasa facietas. Aquela tecnica es utilizada en analisi numerica dins lo metòde dels elements finits, mas tanben en imatgeriá numerica. L'analisi vectoriala permet encara de calcular aviadament l'orientacion d'una quina facieta e de ne deduire la reflexion de la radiacion luminosa d'una font ponctuala dins una direccion donada.
Mai d'un polièdres (regulars o non) an de fàcias triangularas, coma lo tetraèdre, l'octaèdre, l'icosaèdre e lo grand icosaèdre. Los polièdres que totas las fàcias son de triangles equilaterals se sonant deltaèdres.
Encara, tot poligò se pòt descopar en un nombre finit de triangles que forman alara una triangulacion d'aquel poligòn. Lo nombre minimal de triangles necessari per çò far es , que n es lo nombre de costats del poligòn. L'estudi dels triangles es fondamental per aquela dels demai poligòns, per exemple per la demonstracion del teorèma de Pick.
Construccions geometricas associadas Triangle median Lo triangle ligant los tres mitans dels costats d'un triangle es nomenat triangle median. Segon lo teorèma dels mitans, aquel triangle median a de costats parallèls al triangle inicial e de longors de costat proporcionalas dins un rapòrt de 1/2. thumb|Triangle median, medianas e centre de gravitat.
Medianas e centre de gravitat Dins un triangle scalèn, una mediana es un segment que liga un vertèx al mitan del costat oposat. Cada mediana divisa un triangle en dos triangles d'airas egalas.
Se lo triangle es non plan, las tres medianas son concorentas en un punt nomenat centre de gravitat. Aquel punt, sovent notat G e situat als dos tresens de cada mediana partent del vertèx, es a l'encòp l'isobaricentre dels tres vertèxes e lo centra de massa de l'interieur del triangle.
Las tres medianas concorentas divisan lo triangle en sièis triangles de meteissa aira.
La longor de la mediana es ligada a las longors dels autres costats pel teorèma de la mediana ou teorèma d'Apolloni.
Mediatriças e centre del cercle circonscrich thumb|Mediatriças e cercle circonscrich. Se lo triangle es non plat, las tres mediatriças dels costats (las drechas copant los costats a angle drech a lor mitan) son concorentas en un punt nomenat centre du cercle circonscrich, perqu'es lo sol equidistant dels tres vertèxes, es a dire qu'es lo centre del sol cercle passant pels tres vetèxes. Aquel centre es souvent notat O o (« omega »).
Un triangle es rectangle se e pas que se son centre del cercle circonscrich es lo mitan de l'un de sos costats (qu'es alara son ipotenusa).
Per un triangle acutangle, lo centre del cercle circonscrich es a l'interior del quita triangle. Per un triangle obtusangle, aquel centre es a l'exterior.
Lo produch del rai del cercle circonscrich e de l'aira del triangle es lo quart del produch de las longors dels costats del triangle.
Nautors e ortocentre thumb|Nautors e ortocentre.
Se los tres vertèxes son distinctes, una nautor es una drecha passant per un vertèx e perpendiculara al costat oposat. Se lo triangle es non plat, las tres nautors sont concorentas en un punt nomenat ortocentre, sovent notat H.
Un triangle es rectangle se e pas que se son ortocentre es l'un dels vertèxes (ont se tròba alara l'angle drech). Per un triangle acutangle, l'ortocentre es a l'interior del triangle. Per un triangle obtusangle, es a l'exterior.