En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents (o eqüipotents) e se nòta E ≈ F, s'existís una bijeccion . Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.
Proprietats de l'equipoténcia L'equipoténcia a lei proprietats seguentas : es reflexiva : per tot ensemble E, E ≈ E (existís aumens una bijeccion de E vèrs E : l'aplicacion identica de E)
es simetrica : estent dos ensembles E e F, se E ≈ F, alora F ≈ E (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion ; alora la recipròca es una bijeccion )
es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se E ≈ F e F ≈ G, alora E ≈ G (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion e una bijeccion ; alora la compausada es una bijeccion)
Aiçò pròva que dins tot ensemble d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de . Per exemple, se es l'ensemble dei partidas d'un ensemble , l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins .
Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.
Teorèma de Cantor-Bernstein Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :
Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions e , alora E ≈ F.
Exemples e còntraexemples L'ensemble deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí , son equipotents : l'aplicacion es bijectiva
Cas deis intervals de l'ensemble dei nombres reaus. Sián dos reaus a, b taus que , e leis intervals , , Leis intervals e son equipotents : l'aplicacion es bijectiva. Parierament, leis intervals e (o encara e ...) son equipotents. Leis intervals e son equipotents : l'aplicacion es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica) l'aplicacion es injectiva l'equipoténcia de e es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein Leis intervals e son equipotents : l'aplicacion es bijectiva. En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.
Estent un ensemble , l'ensemble de sei partidas es equipotent a l'ensemble dei foncions . Per o provar, s'associa en tota partida A de sa foncion caracteristica . Se definís ansin: per tot element x de , se e se . L'aplicacion es bijectiva : se f es una foncion e se se definís , es clar que A es la soleta partida de tala que .
Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble dei reaus. Pus generalament, existís ges d'ensemble que siá equipotent a l'ensemble de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion es jamai subrejectiva).
Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits Ensembles equipotents a un ensemble finit Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.
Ensembles equipotents a un ensemble infinit Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).
Vejatz tanben bijeccion nombre cardinau teoria deis ensembles
Equipoténcia
de:Mächtigkeit (Mathematik)#Gleichmächtigkeit, Mächtigkeit