En matematicas, un nombre real es un nombre que pòt èsser representat per una partida entièra e una lista finida o infinida de desvolopament decimal. Aquesta definicion s'aplica donc als nombres racionals, que las decimalas tornan de biais periodic a partir d'un cèrt rengPar exemple, 3/41=0,0731707317... avec une période de 5 chiffres., mas tanben d'autres nombres dich irracionals, tals que la raiç carrada de 2, π e e.
La nocion de nombre real emergís progressivament de la manipulacion dels rapòrts de grandors geometricas autras que los rapòrts d'entièrs naturals dempuèi lor presa en compte per Eudòx de CnidosJean Dhombres, « Réels (nombres) », Dictionnaire des mathématiques, fondements, probabilités, applictions, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998. al sègle IV AbC. S'insèra tanben dins l'approximacion de las solucions de problèmas algebrics e realiza, a la mitat del sègle XIX, la mesa en evidéncia de nombres transcendents. Mas la definicion dels nombres reals se formalizèt pas qu'unas decennias mai tard amb las construccions de Dedekind d'un costat e de Cantor e Méray de l'autre.
L'ensemble dels nombres reals, notatLes lettres grasses étant difficiles à reproduire en écriture manuscrite, la graphie tend à se généraliser avec un doublement de la barre verticale. , es alara un còrs totalament ordonat, es a dire qu'es dotat des la quatre operacions aritmeticas satisfasent las mèsmas règlas qu'aquestas sus las fraccions e aquestas operacions son compatiblas amb la relacion d'òrdre. Mas satisfach en mai la proprietat de la bòrna superiora que fonda l'analisi reala. Fin finala, aquesye ensemble es caracterizat per Hilbert coma mai grand còrs arquimedian. Dins la drecha reala acabada las valors infinidas satisfason pas pus las règlas operatòrias de còrs, l'extension al còrs dels nombres complèxes fa impossible la relacion d'òrdre total compatible, alara que l'analisi non estandard adjunt dels nombres infinidament pichons qu'invalidan lo caractèr arquimedian.
L'adjectiu « real » es utilizat per qualificar de nombres a partie del sègle XVII, mas es explicitament definit per oposicion als nombres nombres imaginarix sonque a la fin del sègleGeorg Cantor, Les fondements de la théorie des ensembles, 1883. Tanben foguèt opausat al « nombre formal » dins unes tractats de teologia o de filosofia de la mèsma epòca. vinheta|Representacion de la drecha dels reals amb d'exemples de constantas realas.
Dins la vida videnta Los nombres reals son utilizats per presentar quina que siá mesura fisica tala que: le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitud (positiva o negativa) d'un site geografic, la massa d'un atòma o la distància de la galaxia mai pròcha. Aquetas mesuras dependon de la causida d'una unitat de mesura, e lo resultat s'exprimís coma lo produch d'un nombre real per una unitat. Los nombres reals son utilizats cada jorn, per exemple en economia, en informatica, en matematica, en fisica o en engenheriá.
Mai sovent, sols unes sosensembles de reals son utilizats:
los entièrs naturals ; los entièrs relatius ; los nombres decimals, que son los reals que se pòt escriure exactament en basa decimal ; los nombres racionals, exprimibles jos forma de fraccions amb numerators e denominators entièrs ; los nombres algebrics, que comprenon entre autres totes los nombres que se pòt escriure en utilizant las quatre operacions elementària e las raiças ; los nombres calculables, que comprenon gaireben tot lo nombres utilizats en sciéncia e en engenhariá (coma e e π).
Pasmesn se totes aquestes sosensembles dels reals sián de cardinal infinit, son totes denombrables e representon donc qu'una infima partida de l'ensemble dels reals. An cadun de proprietats pròpras. Dos son subretot estudiats pels matematicians: los nombres racionals e los nombres algebrics; se nomena « irracionals » los reals que son pas racionals e « transcendents » aquestes que son pas algebrics.
En sciéncia La fisica utiliza los nombres reals dins l'expression de las mesuras per doas rasons essenciala:
Los resultats d'un calcul de fisic utilizan sovent de nombres que son pas racionals, sens que los fisicians prenon en compte la natura d'aquestas valors dins lors rasonaments qu'a pas de sens fisic. La sciéncia utiliza de concèptes coma la velocitat instantanèa o l'acceleracion. Aquestes concèptes son eissits de teorias matematicas per que l'ensemble dels reals es una necessitat teorica. Mai, aquestes concèptes dispausan de proprietats fòrtas e indispensablas se l'ensemble de las mesuras es l'espaci dels nombres reals.
Pasmens, lo fisician pòt pas realizar de mesuras de precision infinida. La representacion numerica del resultat d'un calcul pòt èsser aprochada tan precisament que lo vòl per un nombre decimal. Alara per de besonhs experimental e teorics, se lo fisician calcula las mesuras dins , lo fisician exprimís los resultats numerics jos forma de nombres decimals.
Atal lo fisician utiliza las proprietats dels nombres reals que permeton de donar un sens a la mesuras que realiza e ofrisson de teorèmas poderoses per mostrar sas teorias. Per las valors numericas, se contenta dels nombres decimals. Quand mesura la distança que percorrís un punt material sus un cercle complèt, utiliza la valor sens se pausar de question sus son existéncia, mas un nombre de decimalas sovent pichon li sufís pels calculs.
Fin finala, pasmens se los nombres reals podon representar quina que siá grandor fisica, los nombres reals son pas adaptats melhors per l'estudi de plan fòrça problèmas fisics. De sobreensembles bastits a l'entorn dels reals foguèron creadas per poder manipular d'espacis fisics. Per exemple:
l'espaci , per modelizar dels espacis, per exemple de dimension 2, 3 (o mai) ; l'ensemble dels nombres complèxes que l'estructura possedís de las proprietats mai fòrtas qu'aquesta de l'ensemble dels nombres reals.
Autras remarcas sus la nocion de « desvelopament decimal infinit » Tot nombre real pòt èsser presentat jos la forma de « nombre a desvelopament decimal infinit ». Aquesta definicion pòt semblar mai simple que d'autres utilizats de bias corrent pels matematicians, per exemple la limita d'una seguida convergenta. Pasmens, apareis rapidament coma pauc adaptada e implica de definicions e de demonstracions plan mai complèxas. En efièchs los nombres reals son interessants per l'estructura e las proprietats de l'ensemble que forman: addicion, multiplicacion, relacion d'òrdre, e las proprietats que ligan aquestas nocions. Aquestas proprietats son mal rebatidas per la definicion « desvelopament decimal infinit » e de problèmas teorics apareisson:
De nombres possedisson doas representacions. Per exemple, lo nombre x = 0,9999… (los 9 contunhan cap a l'infinit) verifica l'equacion 10x = 9 + x. Lo nombre y = 1,0000… (los 0 contunhan cap a l'infinit) n'es tanben la solucionVoir aussi « Développement décimal de l'unité ».. Mas l'existéncia e l'unicitat de solucion a l'equacion 10t = 9 + t, d'inconeguda t, son doas proprietats essencialas per una definicion univòca dels reals. Per remediar a aquesta situacion, ven necessari d'identificar las representacions decimalas que son solucions d'una mèsma equacion: la definicion ven mai complèxe. Utilizar un desvelopament decimal fa jogar un ròtla particular a la basa 10. Aquesta dificultat es pas insurmontable. Es resolguda per l'utilizacion d'una basa quina que siá: se parla alara de desvelopaments en basa p. Es alara possible de mostrar que los ensembles bastits a partir d'aquestas basas son isomòrfas e que las proprietats dels nombres reals son valables dins totas aquestas basas. Pasmens las demonstracions venon pesugas, e la definicion pèrd de sa simplicitat. Fin finala, los algoritmes naturals per realizar una addicion o una multiplicacion, trapan lor limita causa de la dobla representacion dels nombres decimals. En efièch, las « retengudas » se calculan de drecha cap a esquèrra, e un algorithme efectiu demanda de tractar pas qu'un nombre finit de decimalas (que pòt realizar sonque un nombre finit d'operacions), es e dire de troncar los nombres on se calcula: es donc possible que trocant tan luenh que se vòl, qu'aja jamai la mendre decimala exacta, per exemple sul calcul 0,33…+0,66…=1. Subremontar aqusta dificultat demanda d'utilizar des nocions de convergéncia, que mènan naturalament cap a d'autres mòdes de definicion des reals.
Pasmens, un còp establida l'estructura de l'ensemble dels nombres reals, la notacion per desvelopament decimal permet de calculs efectius, gardant a la ment qu'es pas tant las decimalas exactas d'un nombre que comptan, que la posicion del nombre al vejaire dels autres reals.
Aspècte istoric
Origina dels nombres
Mesa en plaça de las fraccions Dempuèi l'Antiquitat la representacion d'una grandor mesurabla — per exemple una longor o una durada — respondèt a un besonh. La primièra responsa foguèt la construccion de las fraccions (quocient de dos entièrs positius). Aquesta solucion, realizada d'ora pels Sumerians e los Egipcians, es fin finala performanta. Permet d'aprochar una longor quina que siá amb tota la precision desirada.
Correspondéncia amb de longors esquèrra|vinheta|Euclides, un dels paires de las matematicas. La primièra formalizacion bastida en sistèma que se conéis es lo fruch del trabalh d'Euclides al sègle III AbC. Sa construccion, inscricha dins sos Elements, balha doas grandas idèas d'un apòrt màger dins l'istòria de las matematicas.
Las matematicas son formalizadas amb d'axiòmas, de teorèmas e de demonstracions. Se pòt alara bastir un sistèma, amb de teorèmas que las demonstracions se pièjan sus d'autres teorèmas. Las matematicas son classificadas en categorias, la geometria e l'aritmetica ne son las dos mai grandas. Parlar de construccion pren alara tot son sens. Un pont es bastit entre las doas grandas categorias. Aqueste caminament, permetent d'utilizar de resultats d'una de las brancas de las matematicas per enlusir una autra branca es dels mai fecondas. Los nombres son alara plaçat en correspondéncia amb de longors de segments.
Problèmas d'incompletud
Irracionalitat de la raiç carrada de 2 vinheta|L'airal del carrat blau es lo doble d'aquesta del carrat gris. Supausam una longor donada causida coma unitat. Un rasonament geometric, de segur ja conegut dels babilonians, mòstra que se A es un carrat de costat l'unitat e B un carrat de costat egal a la diagonala d de A, alara l'airal de B es dobla d'aquesta de A, es a dire : d = 2.
Benlèu al sègle V AbCJ.-L. Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini Transcription d’une conférence qui a eu lieu le 16 mai 2001 à Grenoble p. 18, de matematicians grècs mòstran que las longors de la diagonala del carrat e de son costat son incommensurables: existís pas de segment, tant petit que siá, que permeta de « mesurar » exactament aquestas doas grandors. Disèm uèi qu'aqueste rapòrt de longor, qu'es la raiç carrada de 2, es irracional, es a dire qu'es pas egal a una fraccion: s'èra una fracction m/n, en divisant la diagonala du carrat en m partidas egalas e son costa en n partiadas egalas se donariá plan de segments totes de mèsme longors.
Aquò mòstra que las fraccions pòdan pas sufire per representar las grandors mesurablas.
Exist una demonstracion aritmetica simpla d'aqueste resultat, que repausa sus un argument de paritat. Al sègle IV AbC, Aristòtel i fa allusion dins un de sos escrichs. Se trapa mai detalalhada dins lo libre X dels Elements d'Euclida.
Desvelopament decimal illimitat non periodic Se las fraccions permeton efectivament d'exprimir tota longor amb la precision desirada, cal pasmens comprene que las operacions e subretot la division venon complèxas se lo sistèma de numeracion es pas adaptat. Lo problèma es descrich per la fraccion egipciana.
Cal esperar lo sègle V per veire la matematica indiana descobrir lo concèpte del zèro e desvelopar un sistèma de numeracion decimal e posicional.