La geometrìa a l'é un-a dle branche fondamentaj dla matemàtica. As trata 'd na dissiplin-a che, almanch an soa anspirassion, a formalisa dle proprietà spassiaj. A resta donca ëdcò un capìtol amportant ëd la fìsica.
J'orìgin Sò nòm a ven da la paròla greca γεωμετρείν ch'a veul dì mzuré la tèra. Costa dissiplin-a a l'é donca dësvlupasse, a l'ancamin, ansima a 'd fondament fòrt empìrich (mzura dij teren, capassità dij vas, proget për fé dij canaj e via fòrt) e a l'ha goernà për bomben ëd temp sò caràter ëd conossensa pràtica. Për cost but a son ëstàite dësvlupà vàire técniche e a son ëstàit fàit vàire cont da babilonèis, egissian, indian. Për esempi, un dij but dla geometrìa egissia a l'era dë mzuré l'estension dij camp dij paisan (ch'a cangiavo con j'inondassion dël Nil), për podèj calcolé le taje. Ant ël papir ëd Rhind a l'é contnù ël lìber dij cont, anté ch'a son ësmonù le régole pr'ëmzuré ij camp quadrangolar e triangolar, nossion ëd cont con le frassion e truch pràtich për la mzura ëd chèich sòlid. Tutun, le testimonianse rivane da le siviltà egissia e assir-babilonèisa an sugerisso che costi pòpoj a l'avìo ëd conossense geométriche, bin ëspantià e detajà, pà mach ëd caràter empìrich. Parèj, an sij papir egissian e le taulëtte ëd crèja babilonèise, da banda dl'arzolussion ëd problema pràtich, as treuvo le prime aprossimassion dël rapòrt π antra na sirconferensa e sò diàmeter e le prime formolassion dël teorema ëd Pitàgora.
La geometrìa clàssica A l'é bel fé che la geometrìa egissia e babilonèisa a sia stàita për vàire temp ël patrimòni pì grand dle conossense dl'umanità. Ëdcò la sistemassion teòrica dla geometrìa (caraterisà da n'astrassion viaman pì granda) euvra dla coltura greca, e anandià da Talete (anviron 600 aGC), a l'é debitris dle colture dlë vzin orient: ij matemàtich grech a l'han soens ancaminà soa atività sientìfica con dij viage dë studi an orient. D'àutra part, la geometrìa a constituiss ël cò dla siensa greca e ëd cola elenìstica.
Fin-a Pitàgora a l'era vnù a conossensa da l'Egit dl'esistensa ëd triàngoj retàngoj con soe bande ant la proporsion 3:4:5. Pròpe con Pitàgora e soa scòla a ancamin-a ël process ëd separassion progressiva dla geometrìa daj sò contnù concret e empìrich, pr'ëdventé na siensa astrata ch'a studia le relassion antra forme geométriche e nùmer. Da siensa dël real, la geometrìa a ven antlora a esse idealisassion dla realtà. Ës process a riva a sò compiment con lë spantiesse dla filosofìa platònica ant la coltura greca: la matemàtica, e an particolar la geometrìa, a dventa teritòri d'arserca ëd teorìe astrate elegante e rigorose, ch'a l'han pr'oget le proprietà dle figure eterne e sensa còrp. Platon midem a l'avìa definì la geometrìa tanme la conossensa ëd lòn che sempe a l'é.
L'elegansa e l'armonìa dij rapòrt antra le forme a dvento d'element fondamentaj dla geometrìa, an fasend intré ant la matemàtica dij criteri estétich ch'a son bin present al di d'ancheuj.
La geometrìa euclidéa Anviron dël 500 aGC a l'é ancaminà ën progress fassinant: dij pensator grech a l'han tirà fòra da la conossensa geométrica corenta n'ansem ëd definission, postulà e assiòma e a l'han mostrà che da sòn as podìa derivesse tut ël còrp dla geometrìa.
Antra coj che a l'han dàit na contribussion pì gròssa a la geometrìa clàssica a-i son Eudòss e Euclid. Ël prim, astrònom an dzorpì che geòmetra, a l'ha dësvlupà ëd técniche originaj ëd retificassion dj'arch e ëd quadradura dle surfasse (métod d'esaustion) ch'a trovran con Archimede soa realisassion pien-a. A l'ha ëdcò costruì na teorìa general dle proporsion antra grandësse. Ël process d'astrassion a l'ha mnà a la redassion dij tërdes lìber djElement d'Euclid (scrivù antra 'l 330 e ël 320 aGC), dont ij prim ses a trato dla geometrìa pian-a, ij darié tre dla geometrìa sòlida. Ambelessì, Euclid a l'ha archujì e smonù le conossense geométriche dël temp conforma a 'n métod ch'a l'é restà për vàire sécoj ël model pì vajant d'organisassion dle teorìe matemàtiche. Sòn a l'é lòn ch'as ciama geometrìa euclidéa. An efet, la geometrìa d'Euclid a l'é costruìa a parte da na quantità limità (vintetré) ëd definission, sinch postulà e sinch nossion comun-e. Le prime a rësguardo j'ent geométrich primitiv; ij second a son d'enonsià a propòsit ëd costi ent. Le nossion comun-e a son considerà da Uclid tanme enonsià 'd caràter general, evident për tuti. Tuti j'àutri teorema dla geometrìa a son dimostrà da Euclid për mojen ëd na caden-a ëd dedussion sucessive, costruìa a parte daj postulà e daj teorema già dimostrà.
La geometrìa, organisà parèj, a l'é restà për vàire sécoj ël model ëd tuta teorìa ipotétich-dedutiva e minca anàlisi crìtica dla geométria uclidéa a l'é arduvusse, già d'antlora, a n'anàlisi dij sò postulà, dzortut ël quint (ël postulà dle paralele). Tutun na crìtica pì moderna a l'ha evidensià ëdcò d'àutri postulà dovrà ant ël travaj d'Euclid, bele che chiel-sì a l'abia nen fortije ëd fasson esplìcita. Antra ij postulà da gionté a-i é col dla continuità, formolà da Richard Dedekind e Georg Cantor (1872).
Chèich desen-e d'agn apress Euclid, ël tratà sle còniche d'Apolòni a completava ël quàder dla geometrìa greca clàssica. S'euvra-sì a l'é caraterisà da n'àut gré ëd rigor ant le dimostrassion e l'esposission.
L'euvra d'Archimede Na concession neuva dla matemàtica e an particolar dla geometrìa a ven da Archimede ëd Siracusa, che già daj sò contemporani a l'era considerà tanme ël pì grand geòmetra dij temp antich. Soa atension costanta pr'ij problema técnich e pràtich a l'era për chiel ëspron e motivassion a l'elaborassion teòrica. Për Archimede la geometrìa a resta nen mach la siensa dël righel e dël compass, ma a l'é s-ciairà ant la prospetiva pì granda d'arzolussion astrata ëd problema concret ch'a ven-o da la fìsica, la mecànica o l'astronomìa. Soe euvre a son nen dij gròss volum ëd sìntesi, parèj dij matemàtich lissandrin, ma a son pitòst d'arserche monogràfiche, memòrie sientìfiche ant ël sens modern. Si da na part soa fasson ëd dëscheurve le còse a l'era orientà da la fìsica, la geometrìa a forniva j'utiss për le dimostrassion. Parèj, an aplicand ël métod d'esaustion d'Eudòss, Archimede a l'é rivà a enonsié un bon nùmer ëd teorema an sj'àree e ij volum dle figure geométriche e a smon-e n'aprossimassion motobin bon-a ëd π.
L'euvra d'Archimede a sara na stagion motobin drùa dël pensé matemàtich. Apress, Nicomede a l'ha ancor anventà la concòida e Diòcle la cissòida, ma tòst a l'é duvertasse un perìod ëd progressiva decadensa: an efet, la siensa dij roman a l'ha dàit gnun-e contribussion amportante al patrimòni dle conossense dla geometrìa greca, ch'a l'é rivane tramandà da j'euvre djë studios àrabo.
L'arnassensa dla geometrìa Lë studi dla geometrìa clàssica a l'é arpijà torna ant ël cors dij sécoj XV e XVI, soens compagnà da arflession ëd natura filosòfica o artìstica (d'esempi a son Nicòla ëd Cusa e Piero della Francesca). Giutà da l'anteresse arnassimental për la dëscuverta e la neuva publicassion dij test clàssich (vàire j'edission dj'euvre d'Euclid, Apolòni e dzortut Archimede) e da j'arserche ant l'àlgebra, a l'é mach vers la fin dël sécol ch'a fa XVI e l'ancamin ëd col ch'a fa XVII che la geometrìa a conòss un perìod d'anteresse arnovà.
La geometrìa ëd Descartes Na gròssa evolussion ant la geometrìa a-i riva con René Descartes e Pierre de Fermat: l'aplicassion sistemàtica dl'àlgebra a la geometrìa, ch'a marca l'achit dla moderna geometrìa analìtica, ch'as diferensia da cola sintética për ij métod pì che për ij contnù, dagià che ant la geometrìa analìtica ij problema geométrich a son traduvù an problema algébrich. An efet, conforma a Descartes ël lengage algébrich a l'era superior a col geométrich. Ës métod-sì a l'é stàit ësmonù për la prima vira da Descartes dël 1637 (ant La géométrie), ma a l'é stàit ëdcò anventà ant l'istess perìod e 'd fasson indipendenta da Fermat. Descartes a sot-lignava j'amplicassion filosòfiche ëd sò métod, antant che Fermat a n'apressiava pitòst soa strasordinaria potensa pràtica, an aplicand-lo a l'arserca dij màssim e mìnim ëd na curva.
L'antrodussion d'ass d'arferiment ant ël pian e ëd n'unità dë mzura an sj'ass a përmet d'assossié a minca cobia ordinà (x,y) ëd nùmer un pont an sël pian, ëd fasson bijetiva. Ël nùmer x a l'é ciamà assissa e y ordinà dël pont, paròle che an sò sens técnich a son dovrà për la prima vira da Leibniz an ël 1692 ant j'''Acta eruditorum. Descartes e Fermat a peulo donca smon-e ël concet d'equassion ëd na curva, ch'a resta l'ansem dij pont dont le coordinà a sodisfo n'equassion dla forma f(x,y)=0. A l'é donca possìbil dovré l'àlgebra 'me utiss ant l'arzolussion ëd problema ëd costrussion geométriche: lë studi dle proprietà dle curve a l'é arportà a lë studi dle proprietà algébriche dj'equassion corëspondente e 'd soe trasformassion algébriche. Për esempi, j'equassion linear ax+by+c=0 a arpresento le rete, antant che cole ëd second gré a arpresento le còniche; le curve arpresentà da n'equassion ëd ters gré as ciamo cùbiche; cole assossià a n'equassion ëd quart gré as diso quàrtiche, e via fòrt. Për esempi, ël problema geométrich ëd sërché l'antërsession tra na reta e na cònica a corëspond a col algébrich d'arzòlve ël sistema ëd second gré formà da soe equassion.
Armarche sìmij a valo ëdcò për la geometrìa dlë spassi tridimensional. Minca pont ant lë spassi a l'é arpresentà da 'd coordinà (x,y,z); n'equassion an coste variàbij a arpresenta na surfassa. S'as trata 'd n'equassion algébrica, la surfassa a peul esse classificà conforma al gré ëd costa equassion; për esempi, le surfasse arpresentà da equassion ëd prim gré a son ij pian.
Spassi a pì che tre dimension La formolassion analìtica dla geometrìa a l'ha mnà scasi ëd fasson obligà a na gròssa estension dël domini dla geometrìa. Dagià che ij pont ëd na reta a corëspondo a nùmer, che ij pont an s'un pian a peulo esse arpresentà da cobie ëd coordinà (x,y) e ij pont ëd në spassi a tre dimension da terne ëd coordinà (x,y,z), a l'é sautaje fòra la chestion dl'antërpretassion dle sequense ëd quatr coordinà e pì. Costi concet a son arvelasse motobin dru ant ël camp ëd la matemàtica aplicà: soens ël concet dë spassi a pì che tre dimension a giuta përchè a përmet d'apliché ël lengage geométrich a problema ëd natura analìtica.
Problema ëd costrussion Ël métod dla geometrìa analìtica a l'é stàit n'utiss dovrà ëdcò për classifiché ij problema ëd costrussion ardità da j'antich. Un problema ëd costrussion, cand formolà 'd fasson analìtica, a resta equivalent a l'arzolussion d'un sistema d'equassion. Na costrussion con righel e compass a l'é possìbil mach cand j'equassion corëspondente a peulo esse arzolvùe për mojen dj'operassion rassionaj (adission, sotrassion, multiplicassion, division) e dl'estrassion ëd rèis quadre. J'equassion ch'a stan sota al problema dla duplicassion dël cubo o dla trissession ëd n'àngol a l'han da manca d'operassion irassionaj d'órdin pì grand che la rèis quadra (an efet, an tuti doi ij cas, a-i basta la rèis cùbica). Donca costi problema a son pà arzolvìbij con righel e compass. Ël problema dla costrussion d'un polìgon regolar con n lat a l'é arzolvìbil mach cand anté che minca a l'é 'n nùmer prim dla forma . Për esempi, ël problema a l'é impossìbil për n=7.
Element imaginari L'antrodussion dij métod analìtich an geometrìa a l'ha ëdcò mnà a consideré ij pont dont le coordinà a son dij nùmer compless.
Antratant, a-i nassìa ël càlcol diferensial e antëgral: ël métod dle coordinà cartesian-e, dësvlupà da Isaac Barrow an soe Lectiones geometricae, a l'é arvelasse utiss da nen podèj fene sensa ant ij cont e fondament teòrich. Le técniche infinitesimaj aplicà a lë studi ëd curve e surfasse a l'han ëmnà Leonhard Euler e j'àutri matemàtich dël Set-sent ai prim arzultà ëd geometrìa diferensial, ch'as anteressa dle proprietà locaj ëd curve e surfasse.