Anel

Definission As ciama anel na strutura algébrica , anté che: (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o ; a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion) a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j'; a son vàlide le doe distributività: e për tuti j'.

J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba. Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi. Nanel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: për tuti j'.

Nanel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o , ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì për minca . An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che a l'é un monòid.

Esempi d'anej Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant për minca . Antlora a l'é n'anel. L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel. Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop , con l'adission f+g an E definìa da . Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca e , [f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e [(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x). Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G. N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj: , , , . L'ansem dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x). J'anej ëd Boole.

Chèiche propietà elementar Ch'as consìdera n'anel A. Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar. për minca . An efet, e . Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse da minca banda dla prima equassion e da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa. (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca . An efet, . Për minca nùmer natural n e minca a valo j'ugualianse (na)b=n(ab)=a(nb). An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab). Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab). Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca , a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz. An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz. Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità , ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che . An efet, pijà qualsëssìa , i l'oma che .

Sot-anej Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si për qualsëssìa . Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che e për minca . Na condission equivalenta a l'é che e për minca .

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

Esempi Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi. Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A. Si B e C a son sot-anej d'A e , antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B. Dàita na famija nen veuida ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d': as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d' (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d' a l'é nen un sot-anel. Ant l'anel dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel. Për minca nùmer natural n, l'ansem dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd . Për i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për , as trata 'd sot-anej sensa unità. Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma . As agiss d'un sot-anel d'A. An efet: ; pijà e i l'oma e ; donca . Ël sot-anel a l'é dit ël sènter ëd l'anel A. Ch'as consìdera l'anel con j'operassion definìe për componente: , . As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

Anej prodot Ch'as consìdera na famija nen veuida d'anej. Lanel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian an definend j'operassion për componente: (a+b)(i)=a(i)+b(i), (ab)(i)=a(i)b(i). Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da , për minca e l'opòst -a ëd l'element a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca . Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca a-l l'é. Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca i pijoma un sot-anel d', i otnoma un sot-anel dël prodot diret.

Divisor ëd zero An n'anel A, n'element x diferent da as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da tal che . Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita. Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e a l'é tal che , antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse a l'é che almanch un dij doi fator a sia , visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

Esempi Ant l'anel dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa. Fissà 'n nùmer natural , l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si , ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si i l'oma che a l'é la matris con tuti 0.

Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da taj che . Antlora , ma . Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita. Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita). Antlora a-i son d'element , con e , taj che xy=xz. A-i na ven che e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop .

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità.

La caraterìstica 'd n'anel Consideroma n'anel A e n'element . A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che . Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x. S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che për tuti j'. S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

Propietà. An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.Dimostrassion.Si la caraterìstica d' a l'é m>0, pijà un qualsëssìa i l'oma . Si nopà la caraterìstica d' a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

Propietà. An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.Dimostrassion.Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0. Antlora: . Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse ; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x. An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

Esempi J'anej dj'antregh, dij rassionaj, dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1. J'anej dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0. J'anej dle class ëd resta mòdol a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

Ideaj Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si ; a l'é dit ideal drit si . N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess). An minca anel, l'ideal nul e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi. N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a. J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca i l'oma .

Esempi Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem a l'é n'ideal bilateral d'A. L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2. Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem . As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e i l'oma . Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e i l'oma che, për minca , . Ant l'istessa manera as definisso l'''anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj' taj che për minca ): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral. Considerà na famija nen veuida d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S. Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da a l'é lideal soma . An efet, e pijà , i l'oma che . Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà , i l'oma che . Ant un prodot diret d'anej, si për minca fator i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) , ël prodot a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral). La soma direta dla famija nen veuida d'anej a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

Ideaj massimaj N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si e a-i é gnun ideal U tal che . Për esempi, j'ideaj massimaj ëd a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim.

Ant l'anel dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal , anté che , a l'é massimal. Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion . Antlora, . D'àutra part, e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U. A-i na ven che e U=R. As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

Anel cossient Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element , dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I. Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient. Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion .