Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach. A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E.

Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert dF, dont sò nòm. An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'''E nen veuid e ch'as pija un pont . Donca për chèich . Antlora a esist r>0 tal che, denotà la sfera ëd sènter e raj r, un a l'ha , visadì . Antlora . Për l'ipòtesi, , dont e T(U) a arzulta esse duvert.

Un corolari Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv . Antlora a l'é continuo.

Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j' taj che un a l'ha . Për omogenità, , donca a l'é continuo.

N'aplicassion Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme e taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme. Butoma, an dzorpì, che . Antlora , visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach e a la fonsion identità.

La dimostrassion dël teorema A conven fé la dimostrassion an toi tòch:

1. Si a l'é n'operador linear e surietiv, antlora

2. Si a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora .

Dimostrassion dla prima part Për tut n natural positiv, ch'as buta X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>. Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che

e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva tal che . Ch'as pijo antlora taj che . An particolar, e, për simetrìa, ëdcò . An somand e tnisend da ment che a l'é bombà, un a oten , dont la tesi.

Dimostrassion dla sconda part Ch'as fissa con , con ël but ëd trové tal che e T(x)=y. Da la condission admetùa, un a l'ha che . An sernend un a treuva tal che e . An aplicand l'istess rasonament con al pòst dy e con , as treuva tal che e . An seghitand përparèj, un a fàbrica na sequensa tal che e . Donca la sequensa a l'é ëd Cauchy. Ch'as denòta con x sò lìmit. Antlora e y=T(x) përchè T'' a l'é continuo.

Teoremadlafonsionduverta