Na teoria matemática dos nós, um elo de pretzel, ou nó de pretzel ou ainda ligação de pretzel é um tipo especial de elo. Consiste em um número finito de emaranhado feitos de duas hélices circulares entrelaçadas. Os emaranhados são conectados ciclicamente,Link pretzel no Mathcurve e o primeiro componente do primeiro emaranhado é conectado ao segundo componente do segundo emaranhado, o primeiro componente do segundo emaranhado é conectado ao segundo componente do terceiro emaranhado, e assim por diante. Finalmente, o primeiro componente do último emaranhado está conectado ao segundo componente do primeiro. Um nó pretzel que também é um nó (ou seja, um nó com um componente) é um nó pretzel.

Cada emaranhado é caracterizado por seu número de voltas: positivas se forem no sentido anti-horário ou para a esquerda, negativas se forem no sentido horário ou para a direita. Na projeção padrão do nó pretzel , há cruzamentos para a esquerda no primeiro emaranhado, no segundo e, em geral, no nésimo.

Um elo pretzel também pode ser descrito como um elo Montesinos com emaranhados inteiros.

Alguns resultados básicos

O elo de pretzel é um nó iff tanto quanto todos os são ímpares ou exatamente um dos é par.Kawauchi, Akio (1996). A survey of knot theory. Birkhäuser.

O elo de pretzel é divisão se pelo menos dois dos forem zero; mas a conversa é falsa.

O elo de pretzel é a imagem espelhada do elo de pretzel .

O link pretzel é isotópico ao elo de pretzel . Assim, também, o elo de pretzel é isotópico ao elo de pretzel .

O elo de pretzel é isotópico ao elo de pretzel . No entanto, se orientarmos os elos de forma canônica, esses dois elos terão orientações opostas.

Alguns exemplos O nó pretzel (1, 1, 1) é o trevo (destro); o nó pretzel (−1, −1, −1) é sua imagem espelhada.

O nó pretzel (5, −1, −1) é o nó de estivador (61).

Se p, q, r são inteiros ímpares distintos maiores que 1, então o nó pretzel (p,q,r) é um nó não invertível.

O nó pretzel (2p, 2q, 2r) é um nó formado por três nós desfeitos ligados.

O nó pretzel (−3, 0, −3) (nó quadrado) é a soma conexa de dois nós de trevo.

O nó pretzel (0, q, 0) é a união dividida de um nó desfeito e outro nó.

Montesinos

Um nó Montesinos é um tipo especial de nó que generaliza ligações pretzel (uma ligação pretzel também pode ser descrita como uma ligação Montesinos com emaranhados inteiros). Uma ligação Montesinos que também é um nó (ou seja, uma ligação com um componente) é um nó Montesinos.

Uma ligação Montesinos é composta por várias emaranhados racionais. Uma notação para uma ligação Montesinos é .

Nesta notação, e todos os e são inteiros. A ligação de Montesinos dada por esta notação consiste na soma dos emaranhados racionais dados pelo inteiro e os emaranhados racionais

Esses nós e ligações receberam o nome do topólogo espanhol José María Montesinos Amilibia, que os introduziu pela primeira vez em 1973.

Utilidade (−2, 3, 2n + 1) ligações de pretzel são especialmente úteis no estudo de variedades 3. Muitos resultados foram apresentados sobre as variedades resultantes da cirurgia de Dehn no nó pretzel (−2,3,7) em particular.

O volume hiperbólico do complemento da ligação pretzel é vezes a constante de Catalan, aproximadamente 3,66. Este complemento de ligação pretzel é uma das duas variedades hiperbólicas de duas cúspides com o menor volume possível, sendo a outra o complemento da ligação Whitehead..

Bibliografia Trotter, Hale F.: Non-invertible knots exist, Topology, 2 (1963), 272–280.

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