Na matemática, a Lanterna de Schwarz é uma aproximação polédrica de um cilindro, usada como exemplo patológico da dificuldade em definir a área de uma superfície curva suave como o limite das áreas de poliedros. Ela é formada por anéis empilhados de triângulos isósceles, dispostos em cada anel seguindo o padrão de um antiprisma. A forma resultante pode ser dobrada a partir de papel e é nomeada em homenagem ao matemático Hermann Schwarz devido à sua semelhança com uma lanterna de papel cilíndrica. Também é conhecida como bota de Schwarz, poliedro de Schwarz ou lanterna chinesa.
Como Schwarz demonstrou, para que a de um poliedro convirja para a área de uma superfície curva, não basta apenas aumentar o número de anéis e o número de triângulos isósceles por anel. Dependendo da relação entre o número de anéis e o número de triângulos por anel, a área da lanterna pode convergir para a área do cilindro, para um limite arbitrariamente maior que a área do cilindro ou para o infinito — em outras palavras, a área pode divergir. A lanterna de Schwarz demonstra que amostrar uma superfície curva com pontos muito próximos e conectá-los por pequenos triângulos não é suficiente para garantir uma aproximação precisa da área, em contraste com a aproximação precisa do comprimento de arco por cadeia poligonal inscrita.
O fenômeno em que pontos amostrados de forma próxima podem levar a aproximações imprecisas da área é chamado de paradoxo de Schwarz. A lanterna de Schwarz é um exemplo instrutivo em cálculo e destaca a necessidade de cuidado ao escolher uma triangulação para aplicações em gráficos por computador e no método dos elementos finitos.
História e motivação thumb|O : cadeias poligonais de comprimento convergem em distância para um segmento diagonal de comprimento , sem convergir para o mesmo comprimento
Arquimedes aproximou a circunferência de círculos pelo comprimento de polígonos regulares inscritos ou circunscritos. De forma mais geral, o comprimento de qualquer curva suave ou retificável pode ser definido como o supremo dos comprimentos de cadeias poligonais inscritas nela. No entanto, para que isso funcione corretamente, os vértices das cadeias poligonais devem estar na curva dada, e não apenas próximos a ela. Caso contrário, em um contraexemplo conhecido como , cadeias poligonais de segmentos de linha verticais e horizontais com comprimento total podem estar arbitrariamente próximas de um segmento de linha diagonal de comprimento , convergindo em distância para o segmento diagonal, mas não convergindo para o mesmo comprimento. A lanterna de Schwarz fornece um contraexemplo para a área de superfície em vez do comprimento e mostra que, para a área, exigir que os vértices estejam na superfície aproximada não é suficiente para garantir uma aproximação precisa. miniaturadaimagem|Hermann Schwarz O matemático alemão Hermann Schwarz (1843–1921) criou sua construção no final do século XIX como um contraexemplo à definição errônea no livro de J. A. Serret de 1868, , que afirma incorretamente:
Independentemente de Schwarz, Giuseppe Peano encontrou o mesmo contraexemplo. Na época, Peano era estudante de , que, por meio de comunicação com Schwarz, já conhecia a dificuldade de definir a área de superfície. Genocchi informou Charles Hermite, que estava usando a definição errônea de Serret em seu curso. Hermite pediu detalhes a Schwarz, revisou seu curso e publicou o exemplo na segunda edição de suas notas de aula (1883). A nota original de Schwarz para Hermite não foi publicada até a segunda edição das obras completas de Schwarz, em 1890.
Um exemplo instrutivo do valor de definições cuidadosas em cálculo, a lanterna de Schwarz também destaca a necessidade de cuidado na escolha de uma triangulação para aplicações em gráficos por computador e no método dos elementos finitos para simulações científicas e de engenharia. Em gráficos por computador, cenas são frequentemente descritas por superfícies trianguladas, e a renderização precisa da iluminação dessas superfícies depende da direção das normais de superfície. Uma escolha inadequada de triangulação, como na lanterna de Schwarz, pode produzir uma superfície semelhante a um acordeão cujas normais estão muito distantes das normais da superfície aproximada, e as dobras agudas e próximas dessa superfície também podem causar problemas com.
A falha das lanternas de Schwarz em convergir para a área do cilindro ocorre apenas quando incluem triângulos altamente obtusos, com ângulos próximos a 180°. Em classes restritas de lanternas de Schwarz que usam ângulos limitados a menos de 180°, a área converge para a mesma área do cilindro à medida que o número de triângulos cresce para o infinito. O método dos elementos finitos, em sua forma mais básica, aproxima uma função suave (frequentemente, a solução de um problema de simulação física em ciência ou engenharia) por uma função linear por partes em uma triangulação. O exemplo da lanterna de Schwarz mostra que, mesmo para funções simples, como a altura de um cilindro acima de um plano que passa por seu eixo, e mesmo quando os valores da função são calculados com precisão nos vértices da triangulação, uma triangulação com ângulos próximos a 180° pode produzir resultados de simulação altamente imprecisos. Isso motiva métodos de geração de malhas em que todos os ângulos são limitados a menos de 180°, como .
Construção thumb|Antiprisma baseado em um 17-gono regular. Omitir as duas faces do 17-gono produz uma lanterna de Schwarz com parâmetros e . Outras lanternas de Schwarz com podem ser obtidas empilhando cópias desse antiprisma
A aproximação polédrica discreta considerada por Schwarz pode ser descrita por dois parâmetros: , o número de anéis de triângulos na lanterna de Schwarz; e , metade do número de triângulos por anel. Para um único anel (), a superfície resultante consiste nas faces triangulares de um antiprisma de ordem . Para valores maiores de , a lanterna de Schwarz é formada pelo empilhamento de desses antiprismas. Para construir uma lanterna de Schwarz que aproxime um dado cilindro circular reto, o cilindro é dividido por planos paralelos em anéis cilíndricos congruentes. Esses anéis têm contornos circulares — dois nas extremidades do cilindro dado e adicionais onde foi dividido. Em cada círculo, vértices da lanterna de Schwarz são espaçados igualmente, formando um polígono regular. Esses polígonos são rotacionados por um ângulo de de um círculo para o próximo, de modo que cada aresta de um polígono regular e o vértice mais próximo no próximo círculo formem a base e o ápice de um triângulo isósceles. Esses triângulos se encontram aresta com aresta para formar a lanterna de Schwarz, uma superfície polédrica topologicamente equivalente ao cilindro.
Ignorando os vértices superior e inferior, cada vértice toca dois ângulos de ápice e quatro ângulos de base de triângulos isósceles congruentes, assim como em uma tesselação do plano por triângulos da mesma forma. Como consequência, a lanterna de Schwarz pode ser dobrada a partir de uma folha plana de papel, com essa tesselação como seu padrão de dobras. Esse padrão de dobras foi chamado de padrão Yoshimura, em referência ao trabalho de Y. Yoshimura sobre o de superfícies cilíndricas sob compressão axial, que pode ser semelhante em forma à lanterna de Schwarz.
Área A área da lanterna de Schwarz, para qualquer cilindro e qualquer escolha específica dos parâmetros e , pode ser calculada por uma aplicação direta de trigonometria. Um cilindro de raio e comprimento tem área . Para uma lanterna de Schwarz com parâmetros e , cada faixa é um cilindro mais curto de comprimento , aproximado por triângulos isósceles. O comprimento da base de cada triângulo pode ser encontrado pela fórmula do comprimento da aresta de um -gono regular, ou seja,A altura de cada triângulo pode ser encontrada aplicando o Teorema de Pitágoras a um triângulo retângulo formado pelo ápice do triângulo, o ponto médio da base e o ponto médio do arco do círculo delimitado pelos extremos da base. Os dois lados desse triângulo retângulo são o comprimento da faixa cilíndrica e a sagitta do arco, dando a fórmula Combinando a fórmula para a área de cada triângulo a partir de sua base e altura, e o número total de triângulos, dá à lanterna de Schwarz uma área total de
Limites thumb|Animação da convergência (ou falta dela) da lanterna de Schwarz para várias relações entre seus dois parâmetros
As lanternas de Schwarz, para grandes valores de ambos os parâmetros, convergem uniformemente para o cilindro que elas aproximam. No entanto, como há dois parâmetros livres, e , a área limite da lanterna de Schwarz, à medida que ambos e se tornam arbitrariamente grandes, pode ser avaliada em diferentes ordens, com resultados diferentes. Se é fixo enquanto cresce, e o limite resultante é então avaliado para escolhas arbitrariamente grandes de , obtém-sea área correta para o cilindro. Nesse caso, o limite interno já converge para o mesmo valor, e o limite externo é supérfluo. Geometricamente, substituir cada faixa cilíndrica por uma faixa de triângulos isósceles muito agudos aproxima com precisão sua área.
Por outro lado, inverter a ordem dos limites dáNesse caso, para uma escolha fixa de , à medida que cresce e o comprimento de cada faixa cilíndrica se torna arbitrariamente pequeno, cada faixa correspondente de triângulos isósceles se torna quase planar. Cada triângulo se aproxima do triângulo formado por duas arestas consecutivas de um -gono regular, e a área de toda a faixa de triângulos se aproxima de vezes a área de um desses triângulos planares, um número finito. No entanto, o número dessas faixas cresce arbitrariamente; como a área da lanterna cresce aproximadamente em proporção a , ela também se torna arbitrariamente grande.
Também é possível fixar uma relação funcional entre e e examinar o limite à medida que ambos os parâmetros crescem simultaneamente, mantendo essa relação. Diferentes escolhas dessa relação podem levar a qualquer um dos dois comportamentos descritos acima, convergência para a área correta ou divergência para o infinito. Por exemplo, definir (para uma constante arbitrária ) e tomar o limite para grandes leva à convergência para a área correta, enquanto definir leva à divergência. Um terceiro tipo de comportamento limite é obtido ao definir . Para essa escolha,Nesse caso, a área da lanterna de Schwarz, parametrizada dessa forma, converge, mas para um valor maior que a área do cilindro. Qualquer área maior desejada pode ser obtida fazendo uma escolha apropriada da constante .
Notas
Referências
Bibliografia
Categoria:Área Categoria:Paradoxos físicos Categoria:Poliedros Categoria:Geometria